Задача № 5

Найти коэффициент А в уравнение плоскости Ax + y + Cz + D = 0, проходящей через точки P(1,1,8), O(0,0,0) параллельно прямой .

Решение:

1. Так как прямая параллельна плоскости, то Al + Bm + Cn = 0 (условие параллельности прямой и плоскости).

Из уравнения прямой выделим l, m, n: l = 1, m = -1, n = 6. Отсюда следует уравнение: A – B + 6C = 0 (1)

2. Так как точки P и O принадлежат плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению плоскости

Получаем уравнение вида: A + B + 8C = 0 (2)

Решим систему:

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1) получим:

2B + 2C = 0

B = -C,

пусть С = 1, тогда B = -1, подставив значение B и C в уравнение (1), получим:

A – 1 + 8 = 0;

А = - 8 + 1

А = - 7

Ответ: коэффициент А = -7

Задача № 6

При каких значениях параметров а и с прямая пересекает две другие прямые

и

Решение:

уравнение 1-й прямой, обозначим цифрой (1)

уравнение 2-ой прямой, обозначим как (2)

уравнение 3-й прямой, обозначим цифрой (3)

1. Найдем определители D₂ и D₃ из уравнений (2) и (3):

D₂ = =

D₃ = =

Так как D₂ и D₃ не равны нулю, то неизвестное z систем (2) и (3) можно записать в качестве свободного и записать в виде:

(4) и (5)

2. Найдем общее решение 2-ой прямой (система (4)), выражая x и y через z:

3x = 6z + 6 + 3

3x = 6z + 9 /делим на 3

x = 2z + 3

Получили:

3. Докажем, что прямые (1) и (2) пересекаются. Для этого запишем уравнение 1-ой прямой в параметрическом виде:

Условием пересечения 2-х прямых является выполнение равенства (r₂ – r₁,l₁,l₂) = 0. В нашем случае r₁=(1;1;1), r₂=(3;3;0), l₁=(a,-1,c), l₂=(2,3,1).

Находим

4. Найдем общее решение системы (5) 3-ей прямой, выразив x и y через z:

-3y = -3 - 2z – 4

3y = 2z + 7

Полагая, что z = t, получим

5. Докажем, что прямая (1) и (3) пересекаются. Условием пересечения прямых является выполнение равенства (r₃ – r₁,l₁,l₃) = 0. В нашем случае r₁ = (1;1;-1), l₁ = (a,-1,c), r₃ = (), l₃ = ().

Найдем

-2a + 2c + 2 = 0

6. Решаем систему и найдем значения а и с:

a = 2c, подставим значение а в первое уравнение системы:

- 4с + 2c + 2= 0

- 2с + 2 = 0

- 2c = -2

с = 1

Вернемся к замене: a = 2c = 2·1 = 2

Ответ:прямая (1) пересекается с прямыми (2) и (3) при а = 2 и с = 2

Задача № 7

Найти радиус сферы, если известно, что она касается двух плоскостей

x - 2y + 2z + 22 = 0 и x - 2y - 2z + 10 = 0.

Решение:

Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от некоторой фиксированной точки - центра сфера. Расстояние между точками сферы и центром сферы называется радиус сферы.

Очевидно d(p₁,p₂) равно двум радиусам сферы. Пусть точки М₁(x₁,y₁,z₁) О p, то есть x - 2y + 2z + 22.

Тогда d(p₁,p₂) = d(M₁,p₂).

Очевидно, что d(M_???_?) = = R.

Подставляем данные в формулу..

Следовательно, отсюда .

Ответ: радиус сферы

Задача № 8

Дана кривая 9х² + 4у² – 36x – 64y + 256 = 0.

1. Доказать, что эта кривая – эллипс.

2. Найти координаты центра его симметрии.

3. найти его большую и малую полуоси.

4. записать уравнение фокальной оси.

5. построить данную кривую

Решение:

Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

(9х² – 36х)+(4y² – 64y+256)=0

9(x – 2)²+ 4(y – 8)²– 36 = 0

9(x – 2)²+ 4(y – 8)²= 36 /:36

Введем новые переменные x₁ = x – 2, y₁ = y – 8. Тогда 9x₁² + 4y₁² = 36 или (2). Последнее уравнение определяет эллипс, причем a² = 4, b² = 9.

Центр симметрии точки О из уравнения эллипса имеем:

x – 2 = 0 y – 8 = 0

x = 2 y = 8

Центр его находится в точке (2,8).

Найдем большую ось а и малую b. Из уравнения эллипса (2) видно, что

а = ,

b =

Найдем уравнение фокальной оси.

Для этого найдем координаты фокусов F₁ и F₂.

b²= a²+ c²,

c²= b²– a²,

c =

F₁(), F₂()

уравнение фокальной оси ,

Построим эллипс