высшая математика I

контрольная работа №2

вариант №8

Задача № 1

Даны координаты вершин треугольника А(1,3), В(2,8), С(6,7). Записать общее уравнение его высоты АН.

Решение:

Так как прямая АН перпендикулярна ВС, то в качестве вектора нормали к прямой АН можно взять любой параллельный ВС вектор. ВС = (4,-1) || (-4,1). Уравнение прямой АН можно записать в виде: -4х + у + С = 0

Так как точка А лежит на прямой АН, тогда подставим в уравнение координаты точки А,

–4·1 + 1·3 + С = 0

С = 1

Получаем уравнение прямой в виде: -4х + у + 1 = 0

Ответ: общее уравнение высоты АН: -4х + у + 1 = 0

Задача № 2

В треугольнике АВС из вершины А проведена высота и медиана. Даны: вершина В(6,5), уравнение высоты х + у = 2 и уравнение медианы 2х – 3у + 1 = 0. Найти координаты х₀ , у₀ вершины С.

Решение:

Координаты вершины А можно найти как точку пересечения высоты АН и медианы АМ, т.е. решая систему

Найдем х для этого первое уравнение умножим на 3

5х – 5 = 0

5х = 5

х = 1

Теперь подставим в первое уравнение х и найдем у

1 + у – 2 = 0

у –1 = 0

у = 1

Таким образом мы нашли координаты вершины А(1;1). Обозначим через х₀ ,у₀ координаты точки С. Тогда точка М имеет координаты . Точка С лежит на прямой ВС, а М на медиане. Прямая ВС перпендикулярна высоте, поэтому в качестве вектора нормалиN(A,B) можно взять любой вектор перпендикулярный к вектору (1;1), например (-1;1). Если прямая проходит через точку М₀(х₀ , у₀) ^ вектору N(A,B), то ее общее уравнение можно записать в виде: Ах + Ву - (Ах₀ + Ву₀) = 0. Исходя из выше сказанного записываем уравнение ВС:

-х + у - (-6 + 5) = 0

-х + у + 1 = 0

Для отыскания х₀ и у₀ имеем систему или

Решая систему, находим х₀ = 2, у₀ = 1.

Ответ:С(2;1)

Задача № 3

Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(1, -2, 4) и M₂(2, -1, 2) перпендикулярно плоскости x + 4y - 5z + 3=0

Решение:

Плоскость p ^ p₁ и следовательно, параллельна нормальному вектору плоскости p₁

Уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(x₀, y₀, z₀) перпендикулярно не нулевому геометрическому вектору = (A, B, C) имеет вид: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Следовательно, вектор = (A, B, C) является одним из нормальных векторов плоскости p: Ax + By + Cz + D = 0

Плоскость p: Ax + By + Cz + D = 0 проходит через точку M₁(1, -2, 4) и M₂(2, -1, 2) и геометрический вектор =(1, 4, -5).

Найдем координаты направленного отрезка М₁М₂.

М₁М₂ = (1,1,-2)

Подставим в уравнение плоскости: х + 4у - 5z + D = 0, координаты отрезка М₁М₂, получим

1·1 + 4·1 - 5·(-2) +D = 0

1 + 4 + 10 + D = 0

Найдем неизвестное D.

D = -(Ax­₀ + By₀ + Cz₀) = - (1 + 4 + 10) = -(15) = -15

D = -15

Подставим полученные данные в уравнение плоскости, получаем: x + 4y - 5z - 15 = 0

Ответ: x + 4y - 5z - 15 = 0 - общее уравнение плоскости.

Задача № 4

Найти координаты проекции точки М(3,-1,-3) на плоскость 2х + у – 4z + 4 = 0.

Решение:

Ортогональной проекцией точки М₁ на плоскости p называется Q пересечения плоскости p с прямой П, проходящей через точку М₁ перпендикулярную к плоскости p.

Пусть

П:t О R

прямая проходящая через точку М₁ и перпендикулярна плоскости p. Тогда за направляющий вектор прямой П можно взять нормальный векторплоскостиp.

Геометрический вектор = (2,1,-4)^ p и . Находим координаты точки Q пересечения прямой

П: (присвоимl,m,n координаты нормального вектора .l = 2, m = 1, n = -4)

с плоскостью p: 2х + у – 4z + 4 = 0

Уравнение прямой П подставим в уравнение плоскости p:

x = 3 + 2t

y = -1 + t

z = -3 - 4t

2(3 + 2t) + (-1 + t) - 4(-3 - 4t) + 4 = 0

6 + 4t - 1 + t + 12 + 16t + 4 = 0

21t + 21 = 0

21t = -21

t = -1

Подставим найденное t в первые три уравнения, получим координаты проекции точки М₁

x = 3+2·(-1)=1;

y = -1 + (-1) = -2;

z = -3 – (4·(-1)) = 1.

Q = (1;-2;1)

Ответ: Точка Q(1;-2;1) есть проекция точки М₁ на плоскость