Контрольная работа 1 / 1- 3_Высшая математика_3
.docТомский межвузовский центр дистанционного образования
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра высшей математики (ПрЭ)
Контрольная работа № 1
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 3
Выполнил:
специальности 200700
.
г
1.
Найдите
,
если
,
,
.
(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)
Решение:
,
;
,
+
=
,
=
=
.
Ответ: 13, -4, -15, 9.
-
Вычислите определитель D =
.
Решение:
Вторую строку, умноженную на 2, вычтем из первой,
вторую строку, умноженную на 6, вычтем из третьей,
вторую строку, умноженную на 3, вычтем из четвёртой.
Разложим определитель по элементам первого столбца, а затем по элементам третьей строки:
D
=
=
=
.
Ответ: 81.
3. Решите матричное уравнение
= 6
.
Решение:
Обозначим
,
.
Тогда
XA = B ;
XAA
= BA
,
X = BA
.
.
(ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2), к третьей прибавили первую).
Матрица
невырожденная, а потому имеет обратную
.
Находим матрицу
.
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Таким образом,
,
Проверка.
Матрица
найдена верно.
Ответ:
4. Найдите то значение параметра p , если оно существует, при котором строки матрицы
линейно зависимы.
Решение:
Так как строки
матрицы
линейно зависимы, то её определитель
равен нулю.
(ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-2),к третьей строке прибавили первую, умноженную на (-1),к четвертой строке прибавили первую умноженную на (-5)).
(ко второй строке прибавили первую, умноженную на (-3),к третьей строке прибавили первую, умноженную на (-7)).
Ответ:
5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора: f1(3, 2,-4), f2(4, 1, -2), f3(5, 2, -3), x(9, 5, -8). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3. Найдите координаты вектора x в базисе fi .
Решение:
Составим матрицу С, записав в её столбцах координаты векторов f1, f2, f3 :
(из первой строки вычли вторую, умноженную на 4, к третьей строке прибавили вторую, умноженную на 2 ).
Так как
,
то векторы f1,
f2,
f3
линейно
независимы, а потому могут быть приняты
в качестве базиса в R3
.
Матрица С
невырожденная, а потому имеет обратную
.
Найдём её:
Новые координаты
вектора x
находятся
по формуле:
Ответ: (1, -1, 6,8 ).
6. Докажите, что система
имеет единственное решение. Неизвестное x4 найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.
Решение:
Вычислим определитель системы:
,
поэтому система имеет единственное
решение.
Находим определитель
:
По формуле Крамера
.
Решим данную систему методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками.
Данная система эквивалентна системе:
Ответ:(2, 1, 0, 1 ).
7. Дана система линейных уравнений
Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. Найдите частное решение, если x2=x3=1.
Решение:
Применим к данной системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.
Ранг основной и
расширенной матриц
,
система совместна.
В качестве базисного
выберем минор
.
Данная система эквивалентна системе:
общее решение
системы.
При
,
находим
.
Положив, например,
,
получим частное решение (2, 1, 1, 2).
Ответ: (2, 1, 1, 2).
8. Дана система линейных однородных уравнений
Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.
Решение:
Исследуем систему методом Гаусса. Запишем её матрицу и, действуя только со строками, упростим её, не меняя ранга.
Ранг матрицы равен 4, следовательно, он меньше числа неизвестных. Система имеет нетривиальное решение.
В качестве базисного
выберем минор
.
Данная система эквивалентна системе:
или
общее решение
системы.
Фундаментальная система решений содержит 5-4=1 решение.
Положив
,
получим частное решение (-8, 15, 0, -5). Это
решение образует фундаментальную
систему решений. Любое другое решение
является его линейной комбинацией.
Ответ: (-8, 15, 0, -5).
9.
Найдите |a|,
если a=2p-r,
|p|=1,
|r|=2,
(p,^r)=60
.
Решение:
Ответ: 2.
10.
Даны точки
.
Найдите объём пирамиды, построенной на
векторах AB,
2BC,
CD.
Решение:
Объём пирамиды,
рёбрами которой являются векторы a,
b, c,
равен
.
В данной задаче:
AB=(6, -3, -3),
BC=(0, 1, -1),
CD=(-2, -3, 2).
Ответ: 6.
11.
Линейный оператор A
действует в
по закону
,
где x
произвольный вектор. Найдите матрицу
A
этого оператора в каноническом базисе.
Докажите, что вектор x(1,
0, 0) является собственным для матрицы
A.
Найдите собственное число
,
соответствующее вектору x.
Найдите другие собственные числа,
отличные от
.
Найдите все собственные векторы матрицы
A
и сделайте
проверку.
Решение:
1) А(1, 0, 0)=(4, 0, 0),
А(0, 1, 0)=(5, -2, 3),
А(0, 0, 1)=(-7, 4, 2).
.
2) Проверим, что вектор x(1, 0, 0) является собственным для матрицы A.
Так как
,
то отсюда следует, что вектор x(1,
0, 0) собственный и отвечает собственному
числу
3) Чтобы найти все другие собственные числа, составим характеристическое уравнение:
Так как
корень этого уравнения, разделим
многочлен
на
:
Собственными числами являются -4, 4.
4)
Собственные векторы, отвечающие этому
собственному числу, образуют фундаментальную
систему решений системы линейных
однородных уравнений :
Ранг матрицы этой системы равен 2. Фундаментальная система решений состоит из одного решения.
общее решение
системы.
Положив, например,
,
получим
Собственный вектор x = (17, -16, 8).
Проверка:
вектор x
= (17, -16, 8) является собственным и отвечает
собственному числу
Собственными
векторами , отвечающими числу
,
будут и векторы
(17, -16, 8)t
, где
Собственными
векторами , отвечающими числу
,
будут и векторы
(1, 0, 0)t
, где
Ответ:
Собственными числами являются -4, 4.
Собственными
векторами , отвечающими числу
,
будут векторы
(17, -16, 8)t
, где
Собственными
векторами , отвечающими числу
,
будут векторы
(1, 0, 0)t
, где
