Контрольная работа 1 / 1- 0_Высшая математика_5

1.2. Вычислить определитель .

Решение:

1.3. Решить матричное уравнение сделать проверку.

Решение:

Проверка:

1.5.Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора Докажите, что векторы f₁,f₂,f₃ можно принять за новый базис в R_3. Найти координаты вектора х в базисе f_i.

Решение:

, тогда векторы f₁,f₂,f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в R3.

1.6. Доказать, что система имеет единственное решение. Неизвестное найти по формуле Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

По формуле Крамера .

Методом Гаусса. Расширенную матрицу приведем к треугольному виду.

Обратный ход.

1.7. Линейный оператор А действует в по закону где произвольный вектор. Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор является собственным для матрицы А. Найти собственное число , соответствующее вектору х. Найти другие собственные числа, отличные от . Найти все собственные вектора матрицы А и сделать проверку.

Решение:

Так как Ах=2х, тогда х(1,1,0) собственный вектор и отвечает собственному числу =2.

Проверка.

Проверка.

2.1. Даны координаты вершин треугольника А(1,3), В(2,8), С(6,6). Записать общее уравнение прямой, на которой расположена медиана АМ треугольника АВС.

Решение: Т.к. точка М является серединой отрезка ВС, тогда ее координаты будут равны М(4,7).

2.3. Записать общее уравнение плоскости, проходящей через точку М2,-1,1) перпендикулярно двум плоскостям:

Решение: Так как данная плоскость перпендикулярна к данным плоскостям, то она параллельна их нормальным векторам Поэтому уравнение плоскости можно записать в виде