Решение.

1. Так как , , , то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу :

.

2. Проверим, что вектор x(1,0,3) является собственным матрицы . Находим

.

Так как , то отсюда следует, что вектор x(1,0,3) собственный и отвечает собственному числу .

3. Чтобы найти другие собственные числа, отличные от , составляем характеристическое уравнение

Нам уже известно, что число - корень этого уравнения. Разделив многочлен на , получим .

, , , .

Итак, собственными числами являются -2, 2, 5. Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений Определитель системы совпадает с определителем Ранг матрицы этой системы, очевидно, равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Нам уже известно из второго уравнения , что . Таким образом является общим решением системы.

Положив, например, , найдем собственный вектор x = (1, 0, -1).

Проверка: , то есть вектор (1, 0, -1) является собственным и отвечает собственному числу .

. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений (вторую строку уравнений вычеркнули, так как она состоит из нулей). Определитель системы совпадает с определителем . Ранг матрицы этой системы равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Вычитая первое уравнение из второго, получаем . Таким образом, является общим решением системы.

Положив, например, , найдем собственный вектор x = ().

Проверка: , то есть вектор является собственным и отвечает собственному числу .

Используемые учебные пособия:

1. Магазинников Л.И., Магазинникова А.Л. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – ТМЦ ДО, 2003.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – Москва Астрель . АСТ, 2002.