Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Очный факультет

(дистанционная форма обучения)

Контрольная работа № 1

по дисциплине

Высшая математика-1

(авторы учебного пособия: Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников)

Вариант 1.5

Дата проверки _________________

Оценка _______________________

Подпись преподавателя____________

2003 г.

Вариант 1.5.

1(Т85.РП). Найдите матрицу D = (AC – AB), если

, , .

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение. Используя свойство операций над матрицами, можем записать D = A(C – B). Так как , , то

C + (-B) =.

Поэтому

Ответ. 14; 6; -2.

2(3Т0). Вычислите определитель

Решение. Пользуясь теоремой 2 (учебное пособие, стр.17), вычисление определителя можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка. Число этих определителей можно снизить до одного, получив, пользуясь свойствами определителя, в каких-либо строке или столбце три нулевых элемента. Получим нули в четвертом столбце. Для этого его третью строку, умноженную на 2, вычтем из четвертой. В результате получим, что

Разлогая этот определитель по элементам четвертого столбца, получаем

Последний определитель можно вычислить по правилу треугольников, но можно и его упростить, получив нули в третьей строке:

(умножили вторую строку на 2 и прибавили ее к третьей). (Применялось свойство определителя: определитель не изменяется, если к какой либо его строке прибавить другую, умноженную на некоторое число.)

Ответ. D = -1.

3(598.Р7). Решите матричное уравнение

Решение. Обозначим , .

Тогда данное уравнение можно записать в виде . Вычисляем:

(ко второй строке прибавили первую, к третьей прибавили первою, умноженную на 2). Матрица A невырожденная, а поэтому имеет обратную . Поэтому . Находим матрицу .

, , , , , , , , .

Таким образом, ,

Проверка.

Матрица X найдена, верно.

Ответ. .

4(4П5). При каком значении параметра p, если оно существует, последняя строка матрицы является линейной комбинацией первых трех строк?

Решение. Преобразуем матрицу A, получив нули в первом столбце. Для этого вычитаем вторую строку, умноженную на четыре, из четвертой; затем вычитаем третью строку, умноженную на два, из второй; вычитаем первую строку из третьей.

Получаем матрицу

Нетрудно заметить, что третья и четвертая строки матрицы det A пропорциональны. Отсюда следует, что ранг матрицы равен трем и - ее базисный минор.

Третья строка по теореме о базисном миноре является линейной комбинацией первых трех.

Обозначим через , , коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых четвертая строка является линейной комбинацией первых трех, то есть

(1, 2, -2, 1) +(2, -3, 3, 2) +(1, -1, 1, 2) = (8, -7, p, 11).

Получаем систему

Решая систему

находим = 8 - 2-,

= 8 - 2-= 11 - 2-2,

8 - 2-- 11 + 2+2= 0  8 -- 11 +2= 0, -3 +3= 0  = 3;

= 5 - 2, 2= 5 -  = 1, =2.

При этих значениях , и второе уравнение обращается в тождество, так как

2 – 6 – 3 = -7. Из третьего уравнения находим p = -2 + 6 + 3 = 7. Если бы второму уравнению найденные значения , и не удовлетворяли, то это означало бы, что не существует значений параметра p, при которых четвертая строка являлась бы линейной комбинацией первых трех. Четвертая строка является линейной комбинацией первых трех только при p = 7.

Ответ. При p = 7.

5. Относительно канонического базиса в R даны четыре вектора: f(1,1,1), f(1,2,3), f(1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f, f, f можно принять за новый базис в R. (ТР0.РП). Найдите координаты вектора x в базисе f.

Решение. Составим матрицу C, записав в ее столбцах координаты векторов f, f, f: . Вычислим определитель этой матрицы.

Находим .

Так как , то векторы f, f, f линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в R. Матрица С невырожденная, значит она имеет обратную C. Элементы обратной матрицы находим по формуле . Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы C, то есть элементы присоединенной матрицы.

, , ,

, , ,

, , .

Так как det C = 1, то .

Новые координаты вектора x находятся по формуле: .

.

Ответ. (1, 3, 0).

6. Докажите, что система

имеет единственное решение. (362). Неизвестное x найдите по формулам Крамера. (0М1.РЛ). Решите систему методом Гаусса.

Решение. Вычислим определитель системы:

.

, поэтому система имеет единственное решение. Находим определитель (в определителе второй столбец заменен столбцом свободных членов).

.

По формуле Крамера .

Решим данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только со строками.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

из которой легко находим , , , . Получено решение: (2, 3, -2, -1).

Ответ. , (2, 3, -2, -1).

7. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. (392.БЛ). Найдите частное решение, если .

Решение. Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками, к виду, из которого нетрудно увидеть базисный минор.

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен 3, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберем минор , то есть неизвестные , , приняты в качестве зависимых, а - в качестве свободного. Данная система эквивалентна системе

Выражаем зависимые переменные через свободный:

- общее решение системы.

Полагая =1, находим = 2 – 1 = 1, = 3 – 1 = 2, = 7 – 6 = 1.

Мы получили частное решение (1, 1, 1, 1).

Ответ. , (1, 1, 1, 1).

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую–нибудь фундаментальную систему решений.

Решение. Решать систему будем методом Гаусса. Записываем ее матрицу и, действуя только со строками, получаем нули ниже главной диагонали:

Ранг матрицы равен трем, следовательно, он меньше числа неизвестных. Система имеет нетривиальное решение. Так как уравнений в системе три, то ранг ее матрицы не может быть больше трех, а поэтому он меньше пяти – числа неизвестных (теорема 2, подраздел 4.5). Примем неизвестные ,, в качестве зависимых, а , - в качестве свободных. Получаем систему эквивалентную данной:

или

Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение:

Фундаментальная система решений содержит 5 – 3 = 2 решения (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем два частных линейно независимых решения, придавая свободным неизвестным значения (1, 0, 0), (0, 0, 1) положив = 1, = 0, а затем = 0, = 0: Эти решения образуют фундаментальную систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.

Ответ. ; .

9(3СА). Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2p + 3r, b = p – 2r, если |p| = ,|r| = 3, .

Решение. , Так как , а . Таким образом, .

Ответ. S = 21.

10(78Т). Вычислите , если B(6, 3, 3); C(6, 4, 2); D(4, 1, 4).

Решение. Проекцию вектора [BC,CD] на направление, определяемое вектором BD, находим по формуле:

,

,

,

,

.

Ответ. .

11. Линейный оператор A действует в по закону

, где - произвольный вектор. (125.РП). Найдите матрицу A этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор x(1,0,3) является собственным для матрицы A. (Т56). Найдите собственное число , соответствующее вектору x. (Д25.РП). Найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы A и сделайте проверку.