8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

Запишем матрицу системы .

Т.к. по теореме система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных и ранг матрицы не больше 3 (то есть меньше числа неизвестных), то система имеет нетривиальное решение.

К первой строке матрицы прибавили третью; из первой строки вычли вторую; из второй строки вычли третью, умноженную на три.

В качестве базисного выберем минор = 8 ≠ 0. Тогда х₁,х₂и х₃будут зависимыми,

а х₄и х₅– свободными. Данная система эквивалентна системе

Выражая зависимые переменные через свободные, можем найти общее решение:

Фундаментальная система решений содержит 5 – 3 = 2 решений (т.к. r= 3). Получим два линейно независимых решения, придавая поочередно свободным неизвестным значения (1, 0), (0, 1):

(5, -6, -9, 1, 0),

(0, 0, 1, 0, 1)

Эти решения образуют фундаментальную систему решений.

9. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2p + 3r, b = p – 2r, если

|p| = , |r| = 3, () = 45^o.

Решение:

S= |[a,b]| = |[2p+ 3r,p– 2r]| = |[2[p,p] + 3[r,p] – 4[p,r] – 4[r,r]| = 7|[r,p]| = 7|r| · |p| ·sin(),

Так как [p,p] = [r,r] = 0,a[r,p] = -[p,r].

Итак, S = 7|r| · |p| · sin () = 7 · 3 · · = 21.

Ответ:Площадь параллелограмма равнаS= 21.

10. Вычислите ПрBd[bc,cd], если b(6, 3, 3); c(6, 4, 2); d(4, 1, 4).

Решение:

Сначала найдем координаты векторов BC,CD,BD и [BC,CD]

BC= (6 – 6, 4 – 3, 2 – 3) = (0, 1, -1);

CD= (4 – 6, 1 – 4, 4 – 2) = (-2, -3, 2);

BD= (4 – 6, 1 – 3, 4 – 3) = (-2, -2, 1);

[BC,CD] = [x₁i + y₁j + z₁k, x₂i + y₂j + z₂k] = (y₁z₂ – y₂z₁)i – (x₁z₂ – x₂z₁)j + (x₁y₂ – x₂y₁)k = (1 · 2 – (-3) · (-1))i – (0 · 2 – (-2) · (-1))j + (0 · (-3) – (-2) · 1)k = -1i + 2j + 2k.

Пр_BD[BC,CD] = = = .

Ответ:Пр_BD[BC,CD] = .

11. Линейный оператор А действует в R₃ R₃ по закону А_х = (-х₁ + 2х₂ + х₃, 5х₂, 3х₁ + 2х₂ + х₃),

где х (х₁, х₂, х₃) – произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х (1, 0, 3) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число λ_о, соответствующее вектору х. Найдите другие собственные числа, отличные от λ_о. Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение:

Так как А (1, 0, 0) = (-1, 0, 3), А (0, 1, 0) = (2, 5, 2), А (0, 0, 1) = (1, 0, 1), то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

А = .

Докажем, что вектор х (1, 0, 3) является собственным для матрицы А. Находим:

Ах = === 2.

Так как Ах = 2х, то следовательно вектор х (1, 0, 3) собственный и отвечает собственному числу λ_о= 2.

Чтобы найти все другие собственные числа, составим характеристическое уравнение:

|A– λE| = = (-1 – λ)– 2+ 1=

= (-1 – λ) (5 – 6λ + λ²) + (3 λ – 15) = -5 + λ + 5 λ²– λ³+ 3 λ – 15 = -20 + 4 λ + 5 λ²– λ³= (5 – λ) (λ²– 4) = 0

Так как нам известно, что число λ_о= 2 – корень этого уравнения. Разделив многочлен (5 – λ) (λ²– 4) на

(λ – 2), получим (5 – λ) (λ + 2). Другие собственные числа найдем, решив уравнение (5 – λ) (λ + 2) = 0:

λ₁= 5, λ₂= -2. Собственными числами являются –2, 2, 5.

Найдем собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

λ = -2. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

Ранг это системы равен двум, поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Подставляя второе уравнение в первое получаем х₁= -х₃. Таким образом,является общим решением системы. Пусть, например, х₁= 2, тогда найдем собственный векторх= (2, 0, -2).

Проверка: === -2.

λ = 5. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

Ранг это системы равен двум, поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Пусть минор ≠ 0 будет базисным, тогда х₁,х₂будут зависимыми, а х₃– свободным. Данная система эквивалентна системеПусть, например, х₃= 1, тогда собственный вектор будет

х= (,, 1).

Проверка: === 5.