5. Относительно канонического базиса в r3 даны четыре вектора: f1 (1, 1, 1), f2 (1, 2, 3), f3 (1, 3, 6),

X (4, 7, 10). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в r3. Найдите координаты вектора х в базисе fi.

Решение:

Составим матрицу C, записав в ее столбцах координаты векторовf₁,f₂,f₃: С =. Вычислим определитель этой матрицы:

detС === 1·(-1)¹⁺¹·= 1.

Из второй строки вычли первую, и из третьей строки вычли первую.

Так как detС ≠ 0, то векторыf₁,f₂,f₃линейно независимы, и поэтому могут быть приняты в качестве базиса вR₃.

Матрица С невырожденная (т.к. detС ≠ 0), поэтому имеет обратную С^-1.

Ее можно найти по формуле С^-1=, поэтому найдем элементы присоединенной матрицы:

С₁₁ == 12 – 9 = 3 С₂₁ = -= -3 С₃₁ == 1

С₁₂ = -= -3 С₂₂ == 5 С₃₂ = -= -2

С₁₃ == 1 С₂₃ = -= -2 С₃₃ == 1

Т.к. detC= 1, то С* = С^-1. Тогда С^-1=.

Новые координаты η¹, η², η³векторахнаходятся по формуле= С^-1.

=·==.

Ответ: Координаты векторахв базисеf_i: (1, 3, 0).

6. Докажите, что система имеет единственное решение. Неизвестное х2 найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение:

Вычислим определитель системы:

D = === 1 · (-1)²⁺¹ · = 1

Из третьей строки вычли вторую; из первой строки вычли вторую, умноженную на два; из четвертой строки вычли третью, умноженную на три.

D≠ 0, поэтому система имеет единственное решение.

По формуле Крамера х_i=, тогда х₂=. Чтобы найти определительD₂, в определителеDвторой столбец заменим столбцом свободных членов:

D₂ = ==1 · (-1)²⁺¹ ·= -(4 – 3 – 4) = 3

Из первой строки вычтем вторую, умноженную на два, из третьей строки вычтем вторую.

х₂=== 3.

Решим данную систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу и преобразуем её, действуя только со строками

Из третьей строки матрицы вычли вторую; из четвертой строки вычли третью, умноженную на два; из первой строки вычли вторую, умноженную на два; из второй строки вычли третью.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

из которой находим, что х₃= -2; х₂= 3; х₄= 2 – 3 = -1; х₁= 3 – 1 = 2.

Ответ:(2, 3, -2, -1).

7. Дана система линейных уравнений Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. Найдите частное решение, если х₄ = 1.

Решение:

Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками.

Из второй строки вычесть первую, умноженную на два; из четвертой строки вычесть первую; к четвертой строке матрицы прибавить вторую; из четвертой строки вычесть третью; из первой строки вычесть вторую, а затем из второй вычесть третью, умноженную на три.

Нетрудно будет определить ранг основной и расширенной матриц:

= 2 ≠ 0. Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен 3, значит система совместна.

В качестве базисного выберем минор ≠ 0, то есть х₁,х₂и х₃взяты в качестве зависимых,

а х₄– в качестве свободного. Данная система эквивалентна системе

Выразим зависимые переменные через свободные:

– общее решение системы.

При х₄= 1: х₂= 1; х₁= х₂= 1; х₃= 2х₂– 1 = 1.

Ответ:Частное решение при х₄= 1: (1,1,1,1)