Министерство образования

Российской Федерации

Томский государственный университет

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра математики.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Контрольная работа №1

вариант 1.5

1.Найдите матрицу D = (AC – AB), если A = ,C = ,B = .

Решение:

Используя средство операций над матрицами, можем записать D= (C–B)A.

C – B = = .

D = (C – B)A = · = .

Ответ:(14, 6, -2).

2. Вычислить определитель D = .

Решение:

Вторую строку матрицы, умноженную на -2, прибавим к первой, а затем эту же строку вычтем из третьей. В результате получим, что

D=.

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца получим D= 1· (-1)^2+1.

D= –= – (-3 + 2) = 1.

Ответ:D= 1.

3. Решите матричное уравнение Х · = 16.

Решение:

Обозначим А = , В = 16. Тогда данное уравнение можно

записать в виде ХА = В.

detA =-3 + 20 – 16 + 15 + 8 – 8 = 16

т.к. detA= 16 ≠ 0 матрица А невырожденная, то она имеет обратную А^-1. Поэтому Х = А^-1· В.

Находим обратную матрицу:

А₁₁= -3 – 8= -11 А₂₁= -(-2 + 4) = -2 А₃₁= -4 – 3 = -7

А₁₂= -(-4 – 10) = 14 А₂₂= -1 + 5 = 4 А₃₂= -(-2 – 4) = 6

А₁₃= -16 + 15 = -1 А₂₃= -(-4 + 10) = -6 А₃₃= -4 + 10 = 6

А* = .

Тогда А^-1=.

Х = А^-1· В = · 16 ·=·=

= =.

Ответ:(-9, -7, 19), (10, 16, -14), (-5, -19, -29).

4. При каком значении параметра p, если оно существует, последняя строка матрицы

А = является линейной комбинацией первых трех строк?

Решение:

= 6 – 4 + 2 – 3 + 8 –2 = 7 ≠ 0.

Так как данный минор третьего порядка не равен нулю, то ранг матрицы не меньше трех. Он будет равен трем, если четвертая строка не попадет в состав базисного минора вместе с первыми тремя. Тогда, по теореме о базисном миноре, последняя строка будет являться линейной комбинацией первых трех строк.

Обозначим через λ₁, λ₂, λ₃ коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых последняя строка выражается через первые три, т.е.

λ₁(1, 2, -2, 1) + λ₂(2, -3, 3, 2) + λ₃(1, -1, 1, 2) = (8, -7, p, 11) . Получаем систему

Подставляя значение λ₃во второе уравнение системы 7λ₂+ 3 · 3 = 23 получим λ₂= 2; подставляя значения λ₂и λ₃в первое уравнение системы получим λ₁= 1.

Зная значения коэффициентов λ₁, λ₂и λ₃, равные λ₁= 1, λ₂= 2, λ₃= 3, находимp =-2λ₁+ 3λ₂+ λ₃

p =-2 + 6 + 3 = 7.

Подставив найденное значение параметра pв исходную матрицу, проверим, попадает ли последняя строка в состав базисного минора

А =

== 1·(-1)¹⁺¹·– 8=

= -231 – 49 + 231 + 49 – 8(14 – 21 + 21 – 14) = 0

Из третьей строки вычтем первую и из второй строки вычтем первую, умноженную на два.

Т.к. по определению, базисным называется минор порядка rотличный от нуля, то последняя строка не входит в состав базисного минора. Следовательно, последняя строка матрицы

А = является линейной комбинацией первых трех строк приp= 7.

Ответ:Последняя строка матрицы А является линейной комбинацией первых трех строк приp= 7.