Контрольная работа 1 / 1- 3_Высшая математика_4
.docМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И ПРОФИСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
(ТУСУР)
Кафедра Высшей Математики
Тема:” Текстовая работа по Высшей Математики № 1”
Студент:
Вариант № 3.1
-
Найти D = (2AB + 3AC), если
A
=
,
B
=
,
С =
.
2
*
=
3
*
=
+
=
=
-
Вычислить определитель D =
.
( Прибавим к первой строке вторую, умноженную на – 2, к третьей строке вторую, умноженную на – 6 и к четвертой строке вторую умноженную на – 3)
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
D
= 1 * (-1) 2+1
=
;
( Прибавим к первой строке вторую, умноженную на 2). Разкладываем по элементам первого столбца.
D
= -1 * (-1) 2+1
–1
= (-9 * 9) = 81;
D = 81.
-
Решить матричное уравнение:
x
*
= 6
.
x * A = B
x = B* A-1
x
*
=
D = 1 + 3 – 10 = -6
=
-4;
= -1;
=
-3;
= 0;
= -3;
=
5;
= -2;
= 1;
A-1
=
X
= -1
*
= -1
=
-
Найдите то значение параметра p, если оно существует, при котором строки матрицы A =
линейно зависимы.
A
=
=
=
=
=
p = 4;
-
Найти координаты вектора x в базисе fi.
f1 ( 3, 2, - 4 ), f2 ( 4, 1, -2 ), f3 ( 5, 2, -3 ), x ( 9, 5, -8 )
Составим матрицу из координат векторов f1, f2, f3:
A
=
;
= det
A
= det
=
=
3
-4
+ 5
=
= 3 (-3 + 4) –4 (-6 + 8) +5 (-4 + 4) = 3 – 8 = -5 = 0
Значит векторы f1, f2, f3 – образуют базис
Найдем координаты x в этом базисе:
=
x
+ y
+ z
=
+
+
=
Сравнивая координаты:
Решаем:
= det
= -5
x
= det
= 9
- 4
+ 5
=
=
9(-3+4) – 4 (-15 +16) +5 (-10+8) = 9 - 4 - 10 = -5 ;
x
=
- 5;
y
=
det
=
=
3
- 9
+ 5
= 3 (-15 + 16) – 9 (-6 + 8) +
+
5 (-16 + 20) = 3 – 18 + 20 = 5 ;
y
= 5;
z
=
=
=
3
- 4
+ 9
= 3 (-8 + 10) –4 (-16 + 20) +
+
9 (-4 + 4)= 6 – 16 = -10 ;
z
= -10 ;
x
=
= 1
y
=
= -1
z
=
= 2 Значит:
x = f1-f2+2f3;
-
Доказать, что система
имеет единственное решение.
X
= det
=
=
=
(-1)
= -
= 81 = 0
Значит система имеет единственное решение.
Найдем x4 по формуле Крамера:
=
det
=
=
= (-1)
= -
=
=
-
= 81
x4
=
=
= 1.
Решим систему методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу:
Приводим
к виду, чтобы ниже диагонали стояли
нули:
отсюда
-
x4 = 9
x4
=
1
-4,5
x3
– 8,5 = - 8,5
x3
=
0
-x2
+
0 + 2,5 = 1,5
x2
=
1
2x1
– 2 + 0 + 3 = 5
x1
=
2
Решение: (2; 1; 0;1)
-
Дана система линейных уравнений
Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение.
Найти частое решение, если x2 = x3 = 1.
Запишем расширенную матрицу и приведем ее к виду удобному для исследования:
Видим что ранг rA = rC = 2 значит система совместна.
Запишем ее отбросив два уравнения :
x1 – x4 = 1- x2 + 2x3
общее
решение
Если
x2
= x4
= 1 то:
частное
решение
-
Н
айти
a
, если а =2p
– r,
p
=1, r
=2, (p
, r)
= 60
a
2
=
(a, a) = (2 p-r , 2 p-r) = 4 (p, p) + 4 (p, r) + (p, r) = 4*1- 4 + 4
= 4
(p,
r) = p r =
a = 2
-
Даны точки А (-2, 4, 4); B (4, 1, 1); C (4, 2, 0); D (2, -1, 2).
Найти объем пирамиды, построенной на векторах АВ, 2 ВС, СD.
AB
A
BC = (0, 2, -2)
CD = (-2, -3, 2)
AB
= (6, -3, -3); V =
=
=
= + 6
10.
R3
R3
A
= 4
+
5
-
7
,
-2
+
4
,
3
+
2
,
x
(
,
,
) x (1, 0, 0)
A
= (4, 0, 0); A
= (5, -2, 3); A
= (-7, 4, 2)
Следовательно:
A
=
;
Далее A
=
=
=
= 4
Значит x
= (1, 0, 0) собственный и
= 4
Составим характеристическое уравнение:
=
0
(4 -
)
= 0
(4
-
)
((2-
)
(-2-
)
– 12 ) = (4 -
)
(- (4 -
)
– 12 ) =
=
(4 -
)
(- 4 +
- 12) = (4 -
)
(
-
16) = 0
=
4
=
4
=
- 4
Значит
:
= 4,
= - 4
Запишем
систему для определения собственного
вектора отвечающего
собственному числу
= - 4
Третье можно вычеркнуть
Пусть x3 – свободное неизвестное:
x2 = -2x3
8x1 – 10x3 – 7x3 = 0
8x1 = 17x3 Отсуда:
Пусть x3 = 8 найдем собственный вектор:
(17, -16, 8)
Проверка:
=
=
= - 4
.
Следовательно вектор (17, -16, 8) – собственный и отвечает
собственному
числу
=
- 4