7. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. Найдите частное решение, если .

Решение: Система совместна, если ранг основной матрицы, равен рангу расширенной матрицы. Применим к этой системе метода Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со строками. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (–2), к третьей и четвертой прибавляем первую, умноженную на (–1). В полученной матрице к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (–1), а к четверной прибавляем вторую умноженную на 1.

Отсюда следует, ранг основной матрица ране рангу расширенной матрица и равен 2. Значит система совместна. В качестве базисного выделим минор , т.е. неизвестные и , а и в качестве свободных. Данная система эквивалентна следующей системе: . Выражаем зависимые переменные через свободные: , - общее решение. Найдем частное решение если .

Ответ: (1;1;-1;-1)

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение: Решаем методом Гаусса. Записываем матрицу системы, упрощая ее, действуя только по строкам. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (–2), к третьей прибавляем первую умноженную на (–1). В полученной матрице к третьей строке прибавить вторую, умноженную на (–1).

Отсюда следует, что ранг матрицы ранен двум, и последнюю строку можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы, так как ранг меньше числа неизвестных, то систем имеет нетривиальные решения. Примем и в качестве зависимых, а и в качестве свободных. Получаем системы эквивалентную данной или . Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение: , .

Фундаментальная система решений содержит решения (разность между числом неизвестных и рангом). Пусть: 1) , , тогда , ; 2) , , тогда , . Получаем: эти два решения образуют систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.

Ответ: общее решение , фундаментальная система .

9. Найдите , если , , , , .

Решение: используя свойства и определения скалярного произведения имеем

Ответ: 5.

10. Вычислите высоту треугольника , опущенную из точки , если ; ; .

Решение: известно, что площадь треугольника равна . Так как ; , то

. . Поскольку , то ; ; ; .

Ответ: 3.

11. Линейный оператор действует в по закону , где – произвольный вектор. Найдите матрицу этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор является собственным для матрицы . Найдите собственное число , соответствующие вектору . Найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы и сделайте проверку.

Решение: Так как , , , то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу в каноническом базисе: . Проверим, что вектор , является собственным матрицы . Находим . Так как , то отсюда следует, что вектор собственный и отвечает собственному числу . Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

Решаем уравнение: ; .

Нам уже известно, что число - корень этого уравнения. Другими собственными числами являются , .

Находим собственные вектора, отвечающие этим собственным числам.

. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений . Решаем систему: ; ; ; ; . Положим , найдем собственный вектор . Проверка , т.е. вектор , является собственным и отвечает собственному числу . Аналогично находим для . ; ; . Пусть , тогда собственный вектор . Проверка . Значит собственному числу отвечает собственный вектор .