4. При каком значении параметра , если оно существует, строки матрицы линейно зависимы.

Решение: найдем ранг данной матрицы. Ранг не изменится, если к любой строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Получаем нули ниже диагонали 1, 4, 2, 1. Для этого ко второй строке прибавляемы первую, умноженную на (–2), к третьей и четвертой строке прибавляем первую умноженную на (–1). Затем в полученной матрице к четвертной прибавляем вторую, умноженную на (–1).

Выделенный минор третьего порядка , , выберем его в качестве базисного, тогда ранг матрицы не меньше трех. Очевидно, ранг матрицы равен рангу матрицы и равен четырем, при . Если , тогда ранг матрицы равен рангу матрицы и равен трем и четвертая строка матрицы будет линейной комбинацией первых трех строк, значит, строки будут линейно зависимы.

Ответ:

5. Относительно канонического базиса в даны четыре вектора: , , , . Докажите, что векторы , , можно принять за новый базис в . Найдите координаты вектора в базисе .

Решение: Составим матрицу , записав в её столбцах координаты векторов , , : . Вычислим определитель этой матрицы. Находим , то векторы , , линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса .

. Матрица невыраженная, а потому имеет обратную. Находим обратную матрицу .

Проверить результат можно, найдя произведение , единичная матрица

Проверка:Обратная матрица найдена верно.

Новые координаты вектора можно найти по формуле

Ответ:

6. Докажите, что система

имеет единственное решение. Неизвестное найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение: Систему запишем в форме , если матрицы невыраженная то существует единственная обратная матрица , тогда

,

Находим её определитель матрицы

Так как , матрица невыраженная, а поэтому существует обратная, находим её.

По формуле находим

Решение системы:: , , , .

Поскольку матрица единственная, то данная система имеет единственное решение, то есть является определенной.

По формуле Крамера: , для этого находим определитель меняя третий столбец на столбец свободных членов.

,

Решим данную систему методом Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только по строкам. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на (–1), к третьей прибавляем первую, умноженную на (– 2), к четвертой первую, умноженную на (–3). В полученной матрице к третьей прибавляем вторую, умноженную на (–1), к четвертой вторую, умноженную на (–2). В полученной к четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (–2).

Таким образом, данная матрица эквивалентна системе

из которой находим

Ответ:(1,1,1,-1)