15

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра программного обеспечения вычислительной

техники и автоматизированных систем

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика № 1»

(Учебное пособие «Линейная алгебра и

аналитическая геометрия»,

автор Магазинников Л.И., Магазинникова А.Л., 2003г. )

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.: з-434-29а

специальности 220400

Ковалева Лилия Олеговна

15 июня 2004 г.

г. Норильск

2004г

Вариант 1.9

1. Найдите матрицу , если , .

Решение: так как в общем случае , то каждое произведение находим отдельно. Произведение матриц и называется матрица размером , элемент который равен сумме произведений элементов строки с номером матрицы на соответствующие элементы столбца с номером матрицы .

1. Пользуясь правилом умножения матрицы находим значение :

;

2. Пользуясь правилом умножения матрицы находим значение :

;

3. Пользуясь правилом вычитания матриц (чтобы от одной матрицы вычесть другую нужно вычесть элементы стоящие на одинаковых местах) находим матрицу :

;

Ответ:

2. Вычислите определить

Решение: пользуясь теоремой «Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца матрицы, на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы», вычисление определителя можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка. Число этих определителей можно снизить до одного, получив, пользуясь свойством определителя «Определитель не изменится, если к какой-либо строке прибавить другую, умноженную на любое число», в каких-либо строке или столбце три нулевых элемента. Для этого к четвертой строке прибавляем вторую, а затем ко второй строке прибавляем третью умноженную на два. В результате получаем:

Разлагая этот определитель по элементам третьего столбца, получаем:

Последний определитель можно вычислить по правилу «Треугольников»: первое слагаемое есть произведение элементов матрицы, расположенных на главной диагонали, а два других – в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, четвертое слагаемое является произведением элементов, расположенных на побочной диагонали, а два последних, состоят из элементов, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. Три последних слагаемых взяты со знаком «минус».

Ответ:

3. Решите матричное уравнение

Решение: обозначим, . Тогда данное уравнение можно записать в виде . Вычисляем определитель матрицы , разлагая по элементам первой строки пользуясь теоремами: «Алгебраическое дополнение и минор связаны соотношением » и «Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы на их алгебраическое дополнение равна определителю матрицы», сводим вычисление определителя к вычислению трех определителей второго порядка. Определитель второго порядка вычисляется вычитанием из произведения элементов главной диагонали произведения элементов побочной диагонали.

Матрица невыраженная, а потому имеет обратную. Элементы обратной матрицы находим по формуле , для отыскания элемента , стоящего в строке и столбце, нужно найти алгебраическое дополнение элемента , стоящего в строке и столбце матрицы , и разделить его на определитель этой матрицы. Находи алгебраическое дополнение всех элементов матрицы, то есть элемента присоединенной матрицы.

Алгебраические дополнения элементов строк мы записываем в столбцы, поделив найденные элементы присоединенной матрицы на определитель , получим

Проверить результат можно, найдя произведение , единичная матрица

Проверка:Обратная матрица найдена верно.

Так как матрица невыраженная, она имеет обратную . Умножим обе части матричного равенства на матрицу . Получаем:

, ,

Проверка:

Матрица найдена верно.

Ответ: