Контрольная работа 1 / 1- 0_Высшая математика

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Факультет Систем Управления (ФСУ)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

(Учебное пособие «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»,

автор Магазинников Л.И., 2003г. )

Выполнил:

студент ТМЦДО

200г

№1 Найдите матрицу C=AB-BA, если A=, B=.

Решение.

C=A*B-B*A.

Размеры матриц А(2x2) и B(2x2) согласованы, т.к. число элементов в строке А равно числу элементов в столбце В и наоборот.

По формуле:

Находим:

-B*A=(-1)*B*A, чтобы умножить матрицу на число, нужно все её элементы умножить на это число.

C=A*B+(-B*A) найдем по правилу, чтобы сложить 2 матрицы, нужно сложить элементы, стоящие на одинаковых местах.

Ответ: С=

№2 Вычислить определитель

Решение.

Пользуясь теоремой: сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы на их алгебраическое дополнение равна определителю матрицы. Используя свойства определителя, получим в третьем столбце 3 нулевых элемента.

Ко 2 строке прибавили 3^ю, умноженную на 2, а затем сложили 2и4 строки.

О твет: D=12.

№3 Решить матричное уравнение

Решение

X*A=B. Матрица называется невырожденной, если её определитель

значит существует матрица A^-1, обратная к A.

Найдем матрицу A^-1, для этого найдем элементы присоединительной матрицы A^*.

Проверка: A*A^-1=E

Найдем X=B*A^-1

Проверка. X*A=B

Ответ:

№4 При каком значении параметра p, если оно существует, строки матрицы

линейно зависимы.

Решение

Преобразуем строки матрицы А, получив в 1^ом столбце 3 нулевых элемента.

При p=2 2и4 строки матрицы А пропорциональны, а значит ранг матрицы А будет уже меньше количества строк в ней, в таком случае строки А линейно зависимы.

Ответ: p=2

№5 Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора: f₁(1,2,3); f₂(2,3,1); f₃(1,1,-3); x(2,4,1). Докажите, что векторы f₁; f₂; f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты вектора x базисе f_i.

Решение.

f₁;f₂;f₃ образуют матрицу

Значит f₁;f₂;f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в R₃.

Матрица C невырожденная, значит имеет обратную себе матрицу С^-1 . Найдем её:

Найдем новые координаты X.

Ответ: (7;-5;5) в новом базисе.

№6 Докажите, что система

имеет единственное решение. Неизвестное X₃ найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение.

Вычислим определитель системы.

D≠0, поэтому система имеет единственное решение. Находим определитель D₃ (в

определителе D третий столбец заменяем столбцом из свободных членов).

Решим систему методом Гаусса:

Ответ: (1;1;1;-1) решение системы.

№7 Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. Найдите частное решение, если .

Решение

Применим к этой системе метод Гаусса:

Значит ранг основной и расширенной матриц равен 2, следовательно система совместна. В качестве базисного выберем минор ,т.е X₁ и X₂ примем в качестве зависимых, а X₃, X₄ – в качестве свободных переменных.

Получаем:

Если X₃=X₄=-1, то получаем частное решение

Ответ: (1;1;-1;-1)

№8Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение

Применим к системе метод Гаусса:

r=2, т.к. 2 последние строки пропорциональны, значит ранг матрицы меньше числа неизвестных. Тогда по теореме (однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, если ранг матрицы меньше числа неизвестных) данная система имеет нетривиальное решение.

базисный минор

X₁ и X₂ – зависимые переменные, X₃ и X₄ свободные.

Фундаментальная система решений содержит 4-2=2 решения (разность между числом неизвестных и рангом)

Любое другое решение является их линейной комбинацией.

Ответ: (-1; 1; 0; 1); (2; 0; 1; 0)

№9 Найдите (a, b), если a=5p+2r, b=p-r,

Решение

Учитывая, что

Ответ: (a, b)=5

№10 Вычислите высоту треугольника ABD, опущенную из точки D, если A(1,2,2);

B(3,-2,-2); D(1,-4,-1).

Решение

1. S_ABD=

Найдем координаты векторов

Ответ: h=3

№11 Линейный оператор А действует в по закону А_x = (3X₁, 2X₁ +X₃, X₁+2X₂ + X₃),где X(X₁,Х₂,X₃)— произвольный век­тор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х(0,1,2) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число λ₀, соответствующее вектору X. Найдите другие собственные числа, отличные от λ₀. Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте про­верку.

Решение.

1) Т.к. А(1;0;0)=(3*1;2*1+0;1+2*0+0)

А(0;1;0)=(0;0;2)

А(0;0;1)=(0;1;1), то, записав координаты полученных векторов, найдем матрицу А.

2) Проверим, что х(0;1;2) является собственным для матрицы А.

собственный и отвечает собственному числу λ₀=2.

3) Чтобы найти собственные числа, составим характеристическое уравнение:

Значит собственными числами являются 3;-1;2.

Найдем собственные вектора, отвечающие этим числам.

λ₁=-1. Собственные вектора для этого числа образуют систему решений, системы линейных однородных уравнений

Это общее решение системы

Пусть, например, Х₂=1, найдем собственный вектор : х(0;1;-1)

Проверка:

Ответ: 3;-1;2;3 – собственные числа.