ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Контрольная работа № 1

Вариант №:9

1. Относительная погрешность разности. Правила вычитания приближенных чисел.

Относительная погрешность разности.

Рассмотрим разность двух приближенных чисел

По формуле имеем

Относительная погрешность разности

Если и близки, то может быть очень велика, даже если малы, то есть происходит потеря точности.

Правила вычитания приближенных чисел.

1) Следует избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел.

2) Если все же приходится вычитать такие числа, то следует брать их с (m+n) верными знаками, где m – количество пропадающих старших разрядов; n – количество верных знаков, которые мы хотим получить в разности.

3) Либо делать эквивалентные преобразования.

2. Общая формула для нахождения погрешности.

Пусть задана дифференцируемая функция

и - абсолютные погрешности аргументов функции. Тогда абсолютная погрешность функции

или

(1)

Поделив на U получим относительную погрешность:

(2)

3. Отделение корней. Теорема о существовании корня.

Отделение корней.

Пусть дано уравнение

(1)

где определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , обращающее функцию в нуль, то есть такое, что

называется корнем уравнения (1) или нулем функции .

Число называется корнем k-ой кратности, если при вместе с функцией обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно

Однократный корень называется простым

Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов :

1. Отделение корней, то есть установление интервалов , в которых содержится один корень уравнения (1).

2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

Теорема о существовании корня.

Теорема. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения , то есть найдется хотя бы одно число , такое, что .

Корень заведомо единственный, если существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a,b].

Доказательство: Пусть для определенности , . Тогда на интервале [a,b] найдется по крайней мере одна точка в интервале , на границах которого выполняется

(2)

В силу непрерывности функции для каждого сколь угодно малого всегда найдется число такое, что при выполняется , где Из условия (2) и условия следует, что и . Поскольку , а и непрерывна, то следовательно существует предел или и таким образом, первая часть теоремы доказана.

Далее, если сохраняет знак на [a,b] то она будет монотонна, то есть для любых будет выполняться (если ) либо (если ). В силу условия , монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.

4. Методы золотого сечения и секущих.

Метод золотого сечения.

Точки деления интервала выбираются таким образом, чтобы отношение длин подинтервалов удовлетворяло соотношению (см.рис.1)

(1)

Так как , то имеем

(2)

Рис.1

С учетом (1) получим уравнение

(3)

корнем которого является золотое сечение.

Скорость сходимости метода золотого сечения имеет порядок с коэффициентом .

Метод секущих.

Если итерации и расположены достаточно близко друг к другу, то производную в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением

Рис. 2

Таким образом, формула метода секущих

(4)

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона в том, что от аппроксимации касательной мы переходим к секущей (см.рис.2).

Здесь задаются в начале итерационного процесса две точки и .

Останов: где - заданная точность.

Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции .

5. Представить число 77195,12… в виде бесконечной десятичной дроби.

5. Определить значащие цифры числа а=27,3607.

Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном приближении, отличная от нуля, или нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Число а=27,3607 имеет 6 значащих цифр. Нуль является значащей цифрой, так как содержится между значащими цифрами.

5. Со сколькими знаками надо взять числа ln 40 и arctg 2, чтобы относительная погрешность была не больше 0,1%.

Если положительное приближенное число известно с относительной погрешностью , количество верных знаков этого числа удовлетворяет неравенству

где - первая значащая цифра числа ,

n – количество верных десятичных знаков

Ч тобы относительная погрешность была не больше 0,1%, число ln40 нужно взять с четырьмя верными знаками.

Ч тобы относительная погрешность была не больше 0,1%, число arctg2 нужно взять с тремя верными знаками.

5. Произвести действия над приближенными числами, в которых все знаки верные (в узком смысле):

1)

Е сли слагаемые одного и того же знака, то относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

М аксимальную относительную погрешность имеет третье число, т.е.

2. U=153.21-81.329

Первое число имеет три младших десятичных разряда, а второе – два. Поэтому полученный результат округляем до одного младшего десятичного разряда.

2. U=61.32-61.31=0,01

2. U=7.6/2.314

Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

5)

5. Найти нуль функции:

методом итераций. Выполнить две-три итерации.

N	Xi	f(xi)
1	0.5659	-0.0034
2	0.5665	-0.0018
3	0.5668	-0.0009