Контрольная работа 1 / 1- 3_Высшая математика

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Контрольная работа №1

по дисциплине «Высшая математика-1»

(автор Магазинников Л.И)

Вариант№ 1.3

1. Найдите D = (2AB+3AC), если

A=, B=, C=.

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

a)

b)

c)

d)

e) D=(2AB+3AC)=

Ответ: вторая строчка матрицы D

13; -4 -15 9

2. Вычислите определитель D=

Решение:

-1

3. Решите матричное уравнение

x

Решение: Обозначим A=

B=6

Тогда данное уравнение можно записать в виде . Вычисляем

det A=

Матрица А невыражденная, а потом имеет обратную А. Найдем матрицу А

А

Ответ:

4. Найдите то значение параметра p , если оно существует, при котором строки матрицы линейно зависимы.

Решение: Преобразуем матрицу А, получив нули ниже диагонали 1, 3, 2, 10.

Получим матрицу

Если ранг r матрицы меньше числа её строк, то её строки линейно зависимы.

Ранг матрицы не менее трёх, так как обведенный минор третьего порядка отличен от нуля .

Ранг равен трём в том случае, когда третья и четвёртая строка пропорциональна, т.е если

отсюда

Итак, ранг матрицы А равен трём, если p=4, т.е строки матрицы линейно зависимы.

Ответ: p=4

5. Относительно канонического базиса в Rданы четыре вектора: Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R. Найдите координаты вектора х в базисе f.

Решение: Составим матрицу C, записав в её столбцах координаты векторов

C=

Найдём определитель этой матрицы.

det C=

Так как det C, то векторы линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в R.

Матрица C невыражденная, а поэтому имеет обратную C Найдём её

.

Так как det C =-5, то С

Новые координаты вектора .

6. Докажите, что система

имеет единственное решение. Неизвестное найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение: Вычислим определитель системы

D=

-9

D0, поэтому система имеет единственное решение. Найдём определитель D

D=

По формуле Крамера

Решим данную систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

Получено решение (2; 1; 0; 1)

Ответ: (2, 1, 0, 1)

7. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. Найдите частное решение, если

Решение: Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её к виду, из которого легко увидеть базисный минор.

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен 2, следовательно система совместна. В качестве базисного выберем минор , т. е,

и зависимые переменные, а и свободные. Данная система эквивалентна системе

- общее решение системы.

Частные решения (0, 1, 1, 0)

(2, 1, 1, 2).

Ответ: общее решение системы

частные решения

(0, 1, 1, 0)

(2, 1, 1, 2).

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение: Исследовать систему будем методом Гаусса. Запишем её матрицу и упрощаем её, не меняя ранга.

A=

Ранг матрицы равен 4, он меньше числе неизвестных, следовательно система имеет нетривиальное решение. Обведенный минор можно принять в качестве базисного. Неизвестные , , и зависимые, а в качестве свободного. Данная система эквивалентна системе.

или - общее решение

Фундаментальная система решений содержит 5-4=1 решение. Получаем одно частное решение.

Если , то (-8; 15, 0, -5, 6)

Ответ: общее решение

частное решение (-8; 15, 0, -5, 6)

9. Найдите |a|, если a = 2p-r, |p| = 1, |r| =2, (p,^r)= 60

Решение:

||

4| cos ( cos60+ 4 = 4 – 4 + 4 = 4.

|, то |

Ответ: |

10. Даны точки А(-2, 4, 4); B(4,1,1); С(4,2,0); D(2,-1,2). Найдите объём пирамиды, построенной на векторах АВ, 2ВС, CD.

Решение: =

a) Найдём координаты векторов

b) = mod

Ответ: = 6

11. Линейный оператор А действует в по закону где - произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите что вектор x(1,0,0) являются собственным для матрицы А . Найдите собственное число соответствующее вектору x .Найдите другие собственные числа, отличные от Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение:

a) Так как А(1,0,0) = (4,0,0). А(0,1,0) = (5,-2,3). А(0,0,1) = (-7,4,2).

Найдём матрицу А:

b) Проверим, что вектор х(1,0,0) является собственным матрицы А.

т.к. Ах = 4х, то следует, что вектор х(1,0,0) собственный и отвечает собственному числу

c) Найдем другие собственные числа, составим характеристическое уравнение

Решим уравнение

(4-(

Итак, собственными числами является 4; -4

Найдём собственный вектор, отвечающий числу

Собственный вектор, отвечающий этому числу образует фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений.

Ранг матрицы этой системы равен двум, поэтому фундаментальная система решений состоит из однородного решения.

и зависимые, свободный

Найдём общее решение

Положив например х=8, найдём собственный вектор х(17;-16;8).

Проверка:

т.е. вектор (17;-16;8) является собственным и отвечает собственному числу