Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_3

i j k _{-3 -3}

AB = 6 -3 -3 = i × -

-2 -2 1 ^{-2 1}

_{6 -3 6 -3}

- j + k = -9i – 0j – 18k = -9(i + 2k).

^{-2 1 -2 -2}

Косинус угла между вектором [AB , BD] и осью OY (вектором j ) находим по формуле:

([AB , BD] , j ) -9 × 0 – 0 × 1 – 18 × 0

Cosγ = = =

[ AB , BD ] × j √(-9)² + 0² +(-18) ² × 1

0

= = 0 ;

√ 405 × 1

γ = arccos 0 = 90 град.

Ответ: γ = 90 град.

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону

Ax = (3x₁ , -x₁ + x₃ , 2x₁ – 4x₂ + 4x₃), где x(x₁, x₂, x₃) – произвольный

вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите что вектор x (1, 3, 10) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число λ₀, соответствующее вектору x . Найдите другие собственные числа, отличные от λ₀. Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение: 1. так как А (1, 0, 0) = (3, -1, 2), A(0, 1, 0) = (0, 0, -4),

A(0, 0, 1) = (0, 1, 4), то записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

3 0 0

A = -1 0 1

2 -4 4 .

2. Проверим, что вектор x (1, 3, 10) является собственным матрицы А. Находим:

3 0 0 1 3 + 0 + 0 3 1

AX = -1 0 1 × 3 = -1 + 0 + 10 = 9 = 3 3

2 -4 4 10 2 – 12 + 40 30 10 .

Так как AX = 3x, то отсюда следует, что вектор x (1, 3, 10) собственный и отвечает собственному числу λ ₀ = 3.

3. Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характерестическое уравнение:

3 – λ 0 0 _{- λ 1}

А – λЕ = -1 - λ 1 = (3 – λ) × -

2 -4 4 – λ ^{-4 4 – λ}

_{-1 1 -1 -λ - λ 1}

- 0 + 0 = (3 – λ ) × =

^{2 4 – λ 2 -4 -4 4 - λ}

= (3 – λ ) (-λ(4 – λ) – 1 × (-4)) = (3 – λ ) (λ² - 4 λ + 4) = (3 – λ ) (λ – 2 )².

Приравняем полученное выражение к нулю и найдем собственные числа:

(3 – λ ) (λ – 2 )² = 0,

3 – λ = 0, λ ₀ = 3 – это число нам уже известно.

(λ – 2 )² = 0, λ₁ = 2 – второе собственное число.

Собственными числами являются – 2 и 3.

Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

λ = 2. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:

(3 – 2 ) x₁ = 0 x₁ = 0

-x₁ – 2x₂ + x₃ = 0 -x₁ – 2x₂ + x₃ = 0

2x₁ – 4x₂ + (4 – 2 )x₃ = 0 2x₁ – 4x₂ + 2x₃ = 0

Определитель системы совпадает с определителем А – Е = 0.

Ранг матрицы системы равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения.

Складывая 1 и 2 уравнение получим:

x₃ = 2x₂. тогда общее решение системы:

x₁ = 0,

x₃ = 2x₂

Пусть x₂ = 1, найдем собственный вектор x = (0, 1, 2).

Проверка:

3 0 0 0 0 + 0 + 0 0 0

-1 0 1 × 1 = 0 + 0 + 2 = 2 = 2 1

2 -4 4 2 0 – 4 + 8 4 2 ,

то есть вектор (0, 1, 2) является собственным и отвечает собственному числу λ = 2.

3 0 0

Ответ: А = -1 0 1 , λ₀ = 3, λ₁ = 2, x = (0, 1, 2) при λ = 2.

2 -4 2