Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_3

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика1»

Вариант №1.6

1. Найдите матрицу D = (CA – BA), если

С = ^{3 4 4} ; B = ^{-3 1 4} ; A = ^{1 1}

^{1 -3 5 2 - 3 4 -1 1}

^{-1 1 .}

^{Решение:}

^{Используя свойство операций над матрицами, можно записать:}

D = (CA – BA) = (C –B) A ^,

С - B = ^{3 4 4} - ^{-3 1 4} = ^{3 – (-3) 4 – 1 4 – 4} = ^{6 3 0 ,}

^{1 -3 5 2 -3 4 1 -2 -3 - (-3) 5 – 4 -1 0 1}

^тогда

D = (C – B) A = ^{6 3 0} × ^{1 1} = ^{6 × 1 + 3× (-1) + 0× (-1) 6 × 1 + 3 × 1 + 0 × 1} =

^{-1 0 1 -1 1 -1 × 1 + 0 × (-1) + 1 × (-1) -1 × 1 + 0 × 1 + 1 × 1}

^{-1 1}

= ^{3 9} ,

^{-2 0}

Ответ: D = (CA – BA) = ^{3 9}

^{-2 0 .}

^{1 -1 -1 2}

2. Вычислите определитель D = ^{2 3 3 - 4}

^{1 1 2 5}

^{4 2 3 16}

Решение: Опредилитель D можно упростить, при этом ответ останется неизменным. Для этого сделаем следующие действия:

1. Первую строку умножим на (-2) и прибавим ко второй строке.

2. Элементы 1-й строки умножим на (-1) и прибавим к 3-й строке.

3. Элементы 1-й строки умножим на (-4) и прибавим к 4-й строке.

Получим:

^{1 -1 -1 2 1 -1 -1 2}

D = ^{2 3 3 -4} = ^{0 5 5 -8} ,

^{1 1 2 5 0 2 3 3}

^{4 2 3 16 0 6 7 8}

Разложим этот определитель по элементам 1-й столбца и вычислим получившийся определитель по правилу треугольников:

^{1 -1 -1 2} 5 5 -8

D = ^{0 5 5 -8} = 1 × (-1) ¹⁺¹ × 2 3 3 =

^{0 2 3 3} 6 7 8

^{0 6 7 8}

= 5 × 3 × 8 + 5 × 3 × 6 + 2 × 7 × (-8) – (-8) × 3 × 6 – 5 × 2 × 8 – 5 × 3 × 7 =

= 120 + 90 – 112 + 144 – 80 – 105 = 57.

Ответ: D = 57.

3. Решите матричное уравнение:

1 1 1 1 -1 0

2 -3 1 × X = 42 × 2 2 2

4 1 -5 0 -3 -2 .

Решение обозначим:

1 1 1 1 -1 0

A = 2 -3 1 , B = 42 × 2 2 2

4 1 -5 0 -3 -2 .

Тогда данное уравнение можно записать в виде AX = B. Вычислим:

1 1 1 1 1 1

det A = 2 -3 1 = 0 -5 -1 = 1 × (-1) ^{1+1 -5 -1} =

^{4 1 -5 0 -3 -9 -3 -9}

= -5 × (-9) – (-3) × (-1) = 42.

Матрица A невырожденная, а поэтому имеет обратную А ^-1. Поэтому

X = A ^-1 × B. Находим матрицу А ^-1 .

₁ A¹₁ A²₁ A³₁

A ^-1 = — A¹₂ A²₂ A³₂ ;

^detA A¹₃ A²₃ A³₃

_{-3 1 1 1 1 1}

A¹₁= (-1) ¹⁺¹ _{1 -5} = 14 ; A²₁ = (-1)²⁺¹ _{1 -5} = 6 ; A ³₁ = (-1)³⁺¹ _{-3 1} = 4;

2 1 1 1 1 1

A¹₂ = (-1)¹⁺² _{4 -5} = 14; A²₂ = (-1)²⁺² _{4 -5} = -9; A³₂ = (-1)³⁺² _{2 1} = 1;

2 -3 1 1 1 1

A¹₃ = (-1)¹⁺³ _{4 1} = 14; A²₃ = (-1)²⁺³ _{4 1} = 3; A³₃ = (-1)³⁺³ _{2 -3} = -5;

₁ 14 6 4

Таким образом: A^-1 = — 14 -9 1 ,

⁴² 14 3 -5

₁ 14 6 4 1 -1 0

X = A-1× B = — 14 -9 1 × 42 × 2 2 2 =

⁴² 14 3 -5 0 -3 -2

14 + 12 -14 +12 – 12 12 – 8 26 -14 4

= 14 – 18 -14 – 18 – 3 -18 – 2 = -4 -35 -20

14 + 6 -14 + 6 + 15 6 + 10 20 7 16 .

Проверка:

1 1 1 26 -14 4

A × X = 2 -3 1 × -4 -35 -20 =

4 1 -5 20 7 16

26 – 4 + 20 -14 – 35 + 7 4 – 20 + 16

= 52 + 12 + 20 -28 + 105 +7 8 + 60 + 16 =

104 – 4 – 100 -56 – 35 – 35 16 – 20 – 80

42 -42 0 1 -1 0

= 84 84 84 = 42 × 2 2 2 = B.

0 -126 -84 0 -3 -2

26 -14 4

Ответ: X = -4 -35 -20

20 7 16 .

4. При каком значении параметра q , если оно существует, обведенный

минор ( здесь выделен жирным шрифтом) А является базисным? Матрица А имеет вид:

^{1 2 3 -1 2}

A = ^{1 -1 -1 2 1}

^{5 1 3 4 7}

^{-1 7 q - 8 1}

Решение: Так как обведенный минор второго порядка не равен нулю, то для того чтобы принять его за базисный нужно, чтобы 3-я и 4-я строка матрицы А были

линейной комбинацией первых двух строк.

Обозначим λ₁ и λ₂ коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых

3-я строка выражается через первые две, т.е. λ₁(1, 2, 3, -1, 2) +λ₂ (1, -1, -1, 2, 1) =

= (5, 1, 3, 4, 7).

Получим систему:

λ₁ + λ₂ = 5 Сложим 1-ое и 2-ое уравнение, получим:

2λ₁ – λ₂ = 1 3λ₁ = 6 , λ₁ = 2 .

3λ₁ – λ₂ = 3 Подставим λ₁ = 2 в 1-ое уравнение получим:

-λ₁ + 2λ₂ = 4 2 + λ₂ = 5 ; λ₂ = 3

2λ₁ + λ₂ = 7

Заметим, что λ₁ =2 и λ₂ = 3 подходят для всех пяти уравнений. Отсюда следует, что

3-я строка матрицы А есть линейная комбинация первых двух строк.

Обозначим λ₃ и λ₄ коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых

4-я строка выражается через первые две, т.е.

λ₃(1, 2, 3, -1, 2) + λ₄(1, -1, -1, 2, 1) = (-1, 7, 9, -8, 1).

Получим систему:

λ₃ + λ₄ = -1 Сложим 1-ое и 2-ое уравнение, получим:

2λ₃ – λ₄ = 7 3λ₃ = 6 ; λ₃ = 2.

3λ₃ – λ₄ = q Подставим λ₃ = 2 в 1-ое уравнение, получим:

-λ₃ + 2λ₄ = -8 2 + λ₄ = -1 ; λ₄ = -3.

2λ₃ + λ₄ = 1

Подставив λ₃ = 2 и λ₄ = -3 в 3-е уравнение найдем значение параметра q :

3 × 2 – (-3) = q ; q = 9.

Заметим, что λ₃ = 2 и λ₄ = -3 подходят для всех пяти уравнений. Отсюда следует,

что при q = 9 , 4-я строка является линейной комбинацией 1-ой и 2-ой строк.

Тогда ранг матрицы А: r (А) = 2 и минор ^{-1 2} можно принять за базисный.

^{2 1}

Ответ: q = 9.

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора:

f₁(4, 2, -1), f₂(5, 3, -2), f₃(3, 2, -1), x(12, 7, -3).Докажите, что векторы

f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты

вектора x в базисе f₁.

Решение: составим матрицу С, записав в её столбцах координаты

векторов f₁, f₂, f₃ :

4 5 3

С = 2 3 2 ,

-1 -2 -1

Вычислим опрелилитель этой матрицы:

4 5 3

Det С = 2 3 2 = 4 × 3 ×(-1) + 5 × 2 ×(-1) + 2 × 3 ×(-2) -

-1 -2 -1

- 3 × 3 ×(-1) – 5 × 2 ×(-1) – 4 × 2 ×(-2) =1.

Так как det С =1 ≠ 0, то векторы f₁, f₂, f₃ линейно независимы, а потому

могут быть приняты в качестве базиса в R₃. Матрица С невырожденная,

а потому имеет обратную С ^-1. Найдем ее:

A¹₁= (-1)^{1+1 3 2} = 1; A²₁= (-1)^{2+1 5 3} = -1; A³₁ = (-1)^{3+1 5 3} = 1;

^{-2 -1 -2 -1 3 2}

A¹₂= (-1)^{1+2 2 2} = 0; A²₂ = (-1)^{2+2 4 3} = -1; A³₂ = (-1)^{3+2 4 3} = -2;

^{-1 -1 -1 -1 2 2}

A¹₃= (-1)^{1+3 2 3} = -1; A²₃ = (-1)^{2+3 4 5} = 3; A³₃ = (-1)^{3+3 4 5} = 2.

^{-1 -2 -1 -2 2 3}

₁ A¹₁ A²₁ A³ ₁ 1 -1 1

С ^-1 = — × A¹₂ A²₂ A³₂ = 0 -1 -2

^det A¹₃ A²₃ A³₃ -1 3 2 .

Новые координаты η¹, η², η³ вектора x :

η¹ 1 -1 1 12 12 – 7 – 3 2

η² = 0 -1 -2 × 7 = 0 – 7 + 6 = -1

η³ -1 3 2 -3 -12 + 21 – 6 3

η¹ 2

Ответ: η² = -1

η³ 3 .

6. Докажите, что система

x₁ – x₂ – x₃ + 2x₄ = 1

2x₁ + 3x₂ + 3x₃ – 4x₄ = 5

x₁ + x₂ + 2x₃ + 5x₄ = -3

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 16x₄ = -9

имеет единственное решение. Неизвестное x₂ найдите по формулам

Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение: Найдем определитель системы:

1 -1 -1 2 1 1 -1 2 3 5 8

D = 2 5 3 -4 = 0 3 5 -8 = -4 3 3 =

1 1 2 5 0 -4 3 3 -13 7 8

4 2 3 16 0 -13 7 8

= 5 × 3 ×8 + 5 × 3 × 6 + 2 × 7 ×(-8) – (-8) × 3 ×6 – 3 × 7 × 5 – 5 × 2 × 8 = 57.

D ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель D₂ ( в определителе D 2-й столбец заменен

столбцом свободных членов).

1 1 -1 2 1 1 -1 2 3 5 -8

D₂ = 2 5 3 -4 = 0 3 5 -8 = -4 3 3 =

1 -3 2 5 0 - 4 3 3 -13 7 8

4 -9 3 16 0 -13 7 8

= 3 ×3 × 8 +5 × 3 ×(-13) + (-4) × 7 ×(-8) – (-8) × 3 ×(-13) – 3 × 3 ×7 –

- 5 × (-4) × 8 = 72 – 195 + 224 – 312 – 63 + 160 = - 114.

D₂ -114

По формуле Крамера x₂ = — = — = - 2.

D 57

Решим данную систему методом Гаусса:

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к

треугольному виду, действуя только со строками.

1 -1 -1 2 1 1 -1 -1 2 1 1 -1 -1 2 1

2 3 3 -4 5 → 0 5 5 -8 3 → 0 5 5 -8 3 →

1 1 2 5 -3 0 2 3 3 -4 0 2 3 3 -4

4 2 3 16 -9 0 6 7 8 -13 0 0 -2 -1 -1

1 -1 -1 2 1 1 -1 -1 2 1

→ 0 5 5 -8 3 → 0 5 5 -8 3

0 0 -5 -31 26 0 0 -5 -31 26

0 0 -2 -1 -1 0 0 0 57 -57 .

Таким образом, данная система примет вид:

x₁ – x₂ – x₃ + 2x₄ = 1

5x₂ + 5x₃ – 8x₄ = 3

-5x₃ – 31x₄ = 26

57x₄ = -57

Отсюда находим:

x₄ = -1, -5x₃ = 26 – 31, 5x₂ = 3 – 5 – 8, x₁ = 1 – 2 + 1 + 2,

x₃= 1. x₂ = -2. x₁ = 2.

Ответ: (2; -2; 1; -1).

7. Дана система линейных уравнений:

2x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 2x₄ = 3,

4x₁ + 5x₂ + 5x₃ + 4x₄ = 6,

2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ = 3,

2x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 2.

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решиние.

Найдите частное решение, если x₂= -1.

Решение: применим к этой системе метод Гаусса. Запишим расширенную матрицу системы и преобразуем ее, приведя к виду

из которого легко увидеть базисный минор:

2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

4 5 5 4 6 → 4 5 4 5 6 → 0 -1 0 1 0 →

2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 0 -1 0 1 0

2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 0 -1 1 -1 0

2 3 2 2 3

→ 0 -1 0 1 0

0 0 1 0 -1

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен трём.

В качестве базисного выберем минор 2 3 2 ≠ 0, т.е. неизвестные

0 -1 0

0 0 1

x₁, x₃, x₄ – приняты в качестве зависимых, x₂ – в качестве независимой

(свободной) переменной. Данная система эквивалентна системе:

2x₁+ 3x₃+ 2x₄+ 2x₂= 3

-x₃ + x₂ = 0 -

x₄= -1

Выражаем зависимые переменные через свободные:

2x₁= -3x₃ - 2 ×(-1) – 2x₂+3

x₃ = x₂

x₄ = -1

Общее решение системы :

x₁ = 2,5(1-x₂)

x₃ = x₂

x₄ = -1

Полагая, что x₂ = -1, находим x₁= 2,5(1+1) = 5, x₃= -1, x₄= -1. Мы получили частное решение (5; -1; -1; -1).

Ответ: x₁ = 2,5(1-x₂)

x₃ = x₂

x₄ = -1

Частное решение: (5; -1; -1; -1).

8. Дана система линейных однородных уравнений:

x₁ + x₂ - x₃ - 2x₄ – x₅ = 0,

x₁ + x₂ + 3x₃ + 4x₄ – x₅ = 0,

x₁ + x₂ – 5x₃ – 8x₄ – x₅ = 0.

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение: исследовать систему будем методом Гаусса. Записываем ее матрицу и действуя только со строками, упрощаем ее, не меняя ранга:

1 1 -1 -2 -1 1 1 -1 -2 -1

A = 1 1 3 4 -1 → 0 0 4 6 0

1 1 -5 -8 -1 0 0 -4 -6 0

Видно, что последние две строки пропорциональны. Одну из них, например последнюю, можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы.

Ранг матрицы r = 2 , что меньше пяти – числа неизвестных. Следовательно система имеет нетривиальное решение. Выделенный

минор примем за базисный. При этом x₃ и x₄ – зависимые переменные,

а x₁, x₂ и x₅ – свободные. Тогда получим систему, эквивалентную

исходной:

x₁ + x₂ – x₃ – 2x₄ – x₅ = 0;

4x₃ + 6x₄ = 0.

2x₁ + 2x₂ – 2x₃ – 4x₄ – 2x₅ = 0;

2x₃ + 3x₄ = 0.

Общее решение системы уравнений:

x₄ = 2x₁ + 2x₂ – 2x₅;

x₃ = -3x₁ – 3x₂ + 3x₅.

Фундаментальная система решений имеет 5 – 2 = 3 решение. Получаем три частных линейно независимых решения, придавая поочередно свободным реизвестным значения: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).

(1, 0 ,-3, 2, 0); Эти решения образуют фундаментальную систему

(0, 1, -3, 2, 0); решений.

(0, 0, -3, 2, 1).

Ответ: общее решение: x₄ = 2x₁ + 2x₂ – 2x₅;

x₃ = -3x₁ – 3x₂ + 3x₅.

фундаментальная система решений: (1, 0 ,-3, 2, 0);

(0, 1, -3, 2, 0);

(0, 0, -3, 2, 1).

9. Найдите a , если a = 6p – r , p = 2√2, r = 3, (p, ^ r) = 45 градусов.

Решение: a ² = (a,a) = (6p – r , 6p – r ) = 36 p ² – 12 (p , r ) + r ² =

√2

= 36 × ( 2√2 )² – 12 × 2√2 ×3 × − + 3² = 288 – 72 + 9 = 225.

√2 2

сos45град. = − .

2

a = √225 = 15.

Ответ: a = 15.

10. Найдите угол ( в градусах), образованный вектором [ AB , BD ] с

осью OY, если А(-5, 1, 1); В(1, -2, -2); D(-1, -4, -1).

Решение: найдем векторы АВ и BD :

AB = (6, -3, -3); BD = (-2, -2, 1);

Вектороное произведение равно: