Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_4
.doc
Контрольная работа по математике-1
№1.6
вариант№6
ЗАДАНИЕ №1: Найти матрицу D = ( CA-BA ), если
C
=
B
=
А =
РЕШЕНИЕ:
C
A
=
* 
=
П
олучим
матрицу 2
2
CA =
B
A
=
*
=
BA =
D = CA – BA = CA+ (-BA) = CA + (-1)*BA
D =
+
(-1)*
=
О
твет:
D =
З
АДАНИЕ
№2: Вычислить определитель D
=
РЕШЕНИЕ: умножим третью строку на (-1), (-2), (-3) и прибавим её соответственно к первой, второй и четвёртой строкам, получим :
D =
=
, Разложим по элементам 1-го столбца:
D
= 1*(-1)
*
Умножим 2-ю строку на 2и прибавим её к
1-й и 3-й строке:
D
=
Разложим
по эл-там 1-го столбца :
D
=
= 1*(-1)
= (-1)*(160-217) = -(-57) = 57
Ответ: D = 57.
З
АДАНИЕ
№3: решить матричное уравнение:
*X = 42*
Р
ешение
: находим detA =
=
= 1*(-1)
= 45 –3 = 42.
Первую строку умножили на – 2 и- 4 и прибавили ко 2-й и 3-й строке.
Т.к. detA= 42
0,
то матрица А – невырожденная
X = A
*B*42.
Находм эл-ты присоединённой матрицы:
A
=
14 A
=-(-6)
A
=
4
A
=14
A
=
-9 A
=1
A
=
14 A
=
-(-3) A
=-5
A
=
; A
= 1/ detA*A
A
=
1/42*
; X = 1/42*
*
*42
=
=
=
О
твет:
X =
З
АДАНИЕ
№4: При каком значении параметра g
,если оно существует, обведённый минор
матрицы А является базисным: A =
РЕШЕНИЕ :первую строку умножим на –5 и прибавим к 3-й строке, прибавим 1-ю строку к 4-й,имеем :
, первую строку умножим на –1 и прибавим
ко 2-й :
,3-ю и 4- ю строку разделим соответвенно
на 3 и –3:
обведённый минор будет базисным, если
миноры матрицы , порядок которых больше
2-х будут равны 0, тэто условие выполнится,
если 3-я и 4-я строки будут равны (их можно
вычеркнуть), т.е. (3+g)/3 = -4,
Откуда g=9.
Ответ: обведённый минор является базисным при g = 9.
ЗАДАНИЕ №5: Относительно канонического
базиса в R
дано
четызе вектора f
(4,2,-1),
f
(5,3,-2),
f
(3,2,-1),
X(12,7,-3). Доказать ,что
векторы f
,
f
,
f
можно принять за новый базис в R
.
(В10.БЛ). Найти координаты вектора x
в базисе f i.
Решение:
С=
; находим C
:
C
=
1/
*
C*
=
= -12-12-10+9+16+10=1 ;
А
=-3+4
А
=
(-5+6) А
=
10-9
А
=-(-2+2)
А
=
-4+3 А
=
(8-6)
А
=
-4+3 А
=-(-8+5)
А
=
12-10
C
=
1/
*
=
;
=
*
=
=
Ответ : X=(2; -1 ;3) в базисе
f
.
ЗАДАНИЕ №6: Доказать,что система:
имеет единственное решение.Неизвестное
X
найти
по формулам Крамера . Решить систему
методом Гаусса.
РЕШЕНИЕ:
=
= 57 (см. задание №2 )
0
имеет единственное решение.
По формуле Крамера: X
=
/
.
=
=
-
умножили 1-ю строку на –2, -1, -4, и прибавили
соответственно ко 2-й, 3-й и 4-й строкам,
разложим по эл – там 1-го столбца:
=
(-1)
*
= 3*(-1)
*
+ 5*(-1)
*
- 8*(-1)
*
=
= 3*(27 – 21) –5*(-32+39)-8*(-28+39) = -114.
X
=
-114/57 = -2.
Метод Гаусса: находим расширенную матрицу:
=
- умножили 1-ю строку на –2, -1, -4 и прибавили
ко 2-й, 3-й,4-й строке, теперь 2-ю строку
умножим на –2, 3-ю- на 5,4-ю – на 5
и 2-ю – на-6,складывая соответствующие строки, получим:
57*X
=
-57,откуда X
=
-1; 5*X
+31*(-1)
= -26, откуда X
=1;
5*X
+5*1
– 8* (-1) = 3 X
-(-2)-1+2*(-1)
= 1
5*X
=
3-13
X
=-2.
X
=2.
Ответ: X
=2.
X
=
- 2. X
=
1. X
=
-1.
ЗАДАНИЕ №7:Дана система линейных уравнений:
доказать, что система совместна. Найти
её общее решение. Найти частное решение,
если. X
=
-1.
РЕШЕНИЕ: Расширенная матрица:
1-ю строку умножим на (-2) и прибавим ко
2-й, 3-й,4-й:
- 2-я и 3-я строки равны
одну можем вычеркнуть, получим:
- т.к rangA = rangC,
то система совместна. Выделим базисный
минор:
2X
+3X
+2X
=
3 – 2X
2X
+3X
-
2 = 3 – 2X
-X
+X
=
-1 - X
X
=
-1 - X
+X
=
- 1
-X
=
- X
X
=
X
Общее решение:
2X
=
3 – 2X
-
3X
+
2 X
=
2.5 – 2.5X
X
=5
– 5X
/
2 = 2.5 – 2.5X
.
X
=
X
X
=
-1
Частное решение при X
=
-1: Ответ: (5; - 1; - 1;
-1)
X
=
2.5+2.5= 5;
X
=
- 1;
X
=
- 1;
ЗАДАНИЕ №8: найти
,
если а = 6p – r,
= 2
,
=
3, (p
r
) = 45
.
РЕШЕНИЕ :
=
(a ;a ) = (6p –r; 6p – r) = 36(p ;p) – 12(p; r ) + (r; r) =
36*4*2 – 12*2
*3*
/2+9=
= 288 – 72 = 9 = 225;
=
=
15.
Ответ:
=
15;
ЗАДАНИЕ №9: найти угол (в градусах),
образованный вектором
с осью OY,
Если A(-5, 1,1), B(1,-2,-2), D(-1, -4, -1).
РЕШЕНИЕ:
AB = (X
-
X
;
Y
-
Y; Z
-
Z
)
= (6; - 3; - 3), аналогично:
BD = (- 2; - 2; 1)
=
= - 3i –12k + 6j – 6k – 6i –6j = -9i –18k =-9i +0j –
18k;
cos
=
y/
=
0/
=0,
откуда
=
90
.
Ответ:
=
90
.
ЗАДАНИЕ №10: линейный оператор А действует
в R
R
по закону
Ax = (3x
,
-x
+
x
,
2x
-
4x
+4x
),
где x (x
,
x
,
x
)
– произвольный вектор. Найти матрицу
А этого оператора в каноническом базисе.
Доказать , что вектор x(1,
3, 10) является собственным для матр. А.
Найти собств.число
,соответствующее
вектору x.
Найти другие собств. Числа. Найти все собств.векторы матр.А и сделать проверку.
РЕШЕНИЕ: 1)
e
= (1; 0; 0 ) A
=
(3; -1; 2 )
e
= (0; 1; 0 ) A
=
(0; 0; -4 ) A =
-
матрица оператора в