Задание №5.

Относительно канонического базиса в R3 дано четыре вектора f1(1, -1, -1), f2(1, 1, -1), f3(1, 1, 1), x(4, 0, -2). Доказать, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3. Найти координаты вектора x в базисе fi.

Решение.

Составим матрицу A, записав в её столбцах координаты векторов f1, f2, f3 .

1 1 1

A = -1 1 1

-1 -1 1

detA = 1 – 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Так как detA не равен нулю, то векторы f1, f2, f3 можно представить как базис в R3.

Так как матрица не вырождена, то она имеет обратную A^(-1). Найдём её, получив все алгебраические дополнения матрицы A. В итоге получим

½ ½ 0

A^(-1) = 0 ½ ½

½ 0 ½

Найдём новые координаты вектора x по формуле

1/2 ½ 0 4 2 + 0 + 0 2

= 0 ½ ½ 0 = 0 + 0 – 1 = -1

1/2 0 ½ -2 2 + 0 – 1 1

2

Ответ: x = -1

1

Задание №6. Доказать, что система

x1 + x2 – 7x3 – x4 = 6,

4x1 + x2 + 2x3 – x4 = 0,

3x1 - 4x3 – x4 = 6,

x1 + x2 + 3x4 = 3

имеет единственное решение. Неизвестное x4 найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Составим матрицу и найдём её определитель

1 1 -7 -1 1 1 -7 -1 -3 30 3

D = 4 1 2 -1 = 0 -3 30 3 = -3 17 2 = 204 – 63 + 360 + 42 = 135

2. 0 -4 -1 0 -3 17 2 0 7 4

1 1 0 3 0 0 7 4

Так как D  0, то система имеет единственное решение.

Найдём определитель D4, заменив в определителе D четвёртый столбец столбцом свободных членов.

1 1 -7 6 1 1 -7 6 -3 30 -24

D4 = 4 1 2 0 = 0 -3 30 -24 = -3 17 -12 = 153 + 504 – 270 – 252 = 135

3 0 -4 6 0 -3 17 -12 0 7 -3

1 1 0 3 0 0 7 -3

По формуле Крамера найдём x4

x4 = D4/D = 135/135 = 1

Запишем расширенную матрицу системы и, действуя только со строками, преобразуем её к треугольному виду

1 1 -7 -1 6 1 1 -7 -1 6 1 1 -7 -1 6

4 1 2 -1 0  0 -3 30 3 -24  0 -3 30 3 -24

3 0 -4 -1 6 0 -3 17 2 -12 0 0 -13 -1 12

1 1 0 3 3 0 0 7 4 -3 0 0 0 45 45

В итоге получаем систему

x4 = 1

x1 + x2 – x3 – x4 = 6

-3x2 + 30x3 + 3x4 = -24

-13x3 – x4 = 12

45x4 = 45

x4 = 1

-13x3 – 1 = 12

-3x2 + 30x3 + 3 = -24

x1 +x2 – 7x3 – 1 = 6

x4 = 1

x3 = -1

x2 = -1

x1 = 1

Ответ: x1 = 1, x2 = -1

x3 = -1, x4 = 1

Задание №7.

Дана система линейных уравнений

x₁ + 5x₂ – x₃ + x₄ + x₅ = -3

3x₁ + x₂ + 3x₃ + 3x₄ - 3x₅ = -3

-x₁ + x₃ – x₄ + 3x₅ = 2

-x₁ + x₂ – 2x₃ – x₄ + 2x₅ = 0

Доказать, что система совместна. Найти её общее решение. Найти частное решение, если x4 = -8, x5 = -4.

Решение.

Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.

1 5 -1 1 1 -3 1 5 -1 1 1 -3 1 5 -1 1 1 -3 1 5 -1 1 1 -3

3 1 3 3 -3 -3  0 -14 6 0 -6 6  0 -14 6 0 -6 6  0 -14 6 0 -6 6

-1 0 1 -1 3 2 0 5 0 0 4 -1 0 0 30 0 26 16 0 0 30 0 26 16

-1 2 -2 -1 2 0 0 2 -3 0 -1 -2 0 0 -15 0 -13 -8 0 0 0 0 0 0

Отсюда видно, что ранг основной и расширенной матрицы равен 3, следовательно, система совместна. В качестве базисного минора выберем

1 5 -1

0 -14 6 = -420 ≠ 0

0 0 30

т.е. неизвестные x_1, x_2, x₃ приняты в качестве зависимых, а x₄, x₅ – в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе

x₁ + 5x₂ – x₃ + x₄ + x₅ = -3

-14x₂ + 6x₃ – 6x₅ = 6

30x₃ + 26x₅ = 16

Выразим зависимые переменные

x₁ = x₃ – 5x₂ – x₄ – x₅ – 3

-14x₂ = 6 – 6x₃ + 6x₅

30x₃ = 16 – 26x₅

x₃ = 8/15 – 13x₅/15

x₂ = 3/7( 8/15 – 13x₅/15 ) – 3/7 – 3x₅/7

x₁ = 8/15 – 13x₅/15 – 5( 3/7( 8/15 – 13x₅/15 ) – 3/7 – 3x₅/7 ) – x₄ – x₅ - 3

x₃ = ( 8 – 13x₅ )/15

x₂ = ( -21 – 84x₅ )/15

x₁ = 8/15 – 13x₅/15 – ( -105 – 420x₅ )/105 – x₄ – x₅ - 3

Получаем общее решение системы

x₁ = ( 224x₅ – 105x₄ – 154 )/105

x₂ = ( -21 – 84x₅ )/105

x₃ = ( 8 – 13x₅ )/15

Так как по условию x₄ и x₅ известны, то найдём частное решение, подставив их значения в полученное общее решение

x₁ = -2

x₂ = 3

x₃ = 4

Ответ: x₁ = -2

x₂ = 3

x₃ = 4