Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_6

Специальность 060400

Контрольная работа №1.

Вариант №6.

Задание 1.

Вычислить определитель

Решение:

Используя свойства определителя:

1. умножим первую строку на 2 и отнимем от второй строки

2. умножим первую строку на 4 и отнимем от четвертой

3. первую строку отнимем от третьей

Получим

^*Сумма D найдена по правилу «треугольников»

Ответ: D=57

Задание 2.

Решить матричное уравнение

Решение:

Обозначим и

Вычисляем

,

значит матрица А невырожденная, а потому имеет обратную. Элементы

обратной матрицы находим по формуле

Алгебраические дополнения всех элементов матрицы А, т.е. элементы присоединенной матрицы

Обратная матрица

Находим X из уравнения AX=B, где A^-1AX=BA^-1, но A∙A^-1=E (E-единичная матрица).

Х= А^-1*В=*

Проверка: А*Х=В

В=

Ответ:

Задание3.

Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(4, 2, -1), f₂(5, 3, -2), f₃(3, 2, -1), x(12, 7, -3). Доказать, что векторы f_1, f_2, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в базисе f_i.

Решение:

Составим матрицу В, записав в ее столбцы координаты векторов f_1, f_2, f₃, т.е.

Находим определитель матрицы В: det B=1≠0, значит векторы f_1, f_2, f₃ линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса R₃.

Матрица В невырождена, и поэтому имеет обратную (В^-1).

Находим В^-1:

В^-1=

Новые координаты вектора x обозначим η¹, η², η³ и найдем их по формуле:

Ответ:

Новые координаты вектора x=(2, -1, 3)

Задание 4.

Доказать, что система

имеет единственное решение. Неизвестное x₂ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

а) Вычислим определитель системы

,

значит система имеет единственное решение.

б) Находим определитель D₂ (в определителе D второй столбец заменен столбцом свободных членов)

умножили 1-ю строку на –2, -1, -4, и прибавили соответственно ко 2-й, 3-й и 4-й строкам, разложим по эл – там 1-го столбца:

= (-1)* = 3*(-1)* + 5*(-1)* - 8*(-1)* = 3*(27 – 21) –5*(-32+39)-8*(-28+39) = -114.

По формуле Крамера

в) Решаем данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только со строками

Данная система эквивалентна системе

,

из которой находим: x₄=-1, x₃=1, x₂=-2, x₁=2.

Ответ:

Решение системы (2, -2, 1, -1).

Задание 5.

Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₂=-1

Решение:

Расширенная матрица:

1-ю строку умножим на (-2) и прибавим ко 2-й, 3-й,4-й:

- 2-я и 3-я строки равны одну можем вычеркнуть, получим:

- т.к rangA = rangC, то система совместна. Выделим базисный минор:

2X +3X +2X= 3 – 2X 2X+3X- 2 = 3 – 2X

-X +X= -1 - X X= -1 - X+X= - 1

-X= - X X= X

Общее решение:

2X= 3 – 2X- 3X+ 2 X= 2.5 – 2.5X

X=5 – 5X/ 2 = 2.5 – 2.5X. X= X

X= -1

Частное решение при X= -1:

X= 2.5+2.5= 5;

X= - 1;

X= - 1;

Ответ: (5; - 1; - 1; -1)

Задание 6.

Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 4) перпендикулярно прямой 3x + 4y + 5 = 0.

Решение:

Обозначим через L общее уравнение прямой, проходящую через точку M(2, 4) и перпендикулярную прямой 3x + 4y + 5 = 0. В качестве вектора нормали прямой L можно принять любой вектор, перпендикулярный N₁(3, 4), так N₂(4, -3). Записываем искомое уравнение 4x - 3y - (4 ∙ 2 – 3 ∙ 4) = 0 или 4x - 3y + 4 = 0.

Проверка:

A₁ ∙ A₂ + B₁ ∙ B₂ = 0 (условие перпендикулярности прямых)

3 ∙ 4 + 4 ∙ (-3) = 0; 0 = 0

Ответ: 4x - 3y + 4 = 0.

Задание 7.

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(4, 2, 1) и M₂(3, 3, 2) параллельно вектору AB = (4, -3, -2).

Решение:

Найдем координаты вектора М₁М₂

М₁М₂=(-1,1,1)

В качестве вектора нормали возьмем N=(AB, М₁М₂)

Уравнение плоскости можно записать в виде

Подставив значения N, в уравнение вычислим D.

Отсюда D=7

Отсюда D=7

Общее уравнение плоскости будет иметь вид.

Ответ:

8