Контрольная работа 1 / 1- 2_Высшая математика_3

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

Уч. Пособие Л.И. Магазинников,

А.Л. Магазинникова.

Выполнил:

студент ТМЦДО

Вариант 1. 2

1) найдите матрицу D=C(3A-4B),если

Так-как 3A=, -4B=, то 3A+(-4B)=

Поэтому

D=C(3A4B)= =

Ответ: -5 24 -13

2) Вычислите определитель D=

Решение:

Из первой строки вычли четвёртую, из второй четвёртую, умноженную на 3.

Разлагая определитель по элементам первого столбца, получим

D=1*(-1)⁴⁺¹=

Вторую строку, умноженную на 2 вычли из третьей

D=-2*(-1)²⁺¹=2(-1+7) =12

Ответ: D=12.

3) Решите матричное уравнение X

Решение:

Пусть A=, B=

Найдём det A==-1-6=-70

Значит матрица A невырожденная, а поэтому имеет обратную

матрицу A^-1. Найдём её.

Прежде всего, находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A.

A^-1= -

Найдем матрицу X

X=B*A^-1==

Проверка

X*A=

Матрица X найдена, верно.

Ответ: X=

4)Докажите, что третья строка матриц

является линейной комбинацией первых двух. Найдите коэффициенты этой линейной комбинации.

Решение: Ранг матрицы А не меньше двух, так как минор

Вычислим

det A=

Отсюда следует, что ранг матрицы равен двум и

её базисный минор

Третья строка по теореме о базисном миноре является линейной комбинацией первых двух, Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ₁ и λ₂

Тогда (8,16,32)=λ₁(1,2,-1)+λ₂(2,4,5)

Следовательно:

Решая систему, находим, что

λ₁=-, λ₂=

Ответ: λ₁=-, λ₂=

5) Относительно канонического базиса в R даны четыре вектора: f(9,3,5), f(2,0,3), f(0,1,-1), x(-14, -7, -3). Докажите

что векторы f,f,f можно принять за новый базис в R.

Решение: Запишем матрицу перехода

С=, Найдём её определитель

det C== -11≠0

Видим, что ранг матрицы С равен трем, следовательно векторы

F₁, F₂, F₃ Линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R₃.

Так как det C≠0, то матрица С невырожденная, а следовательно имеет обратную матрицу C^-1

C, C

C, C,

C, C

C, C

C

C^-1=

Пусть t₁, t₂, t₃,- координаты вектора X относительно нового базиса, тогда

Ответ: X(-2,2,-1)

6) Докажите, что система

имеет единственное решение . Неизвестное x найдите по формулам

Крамера . Решите систему методом Гаусса.

Решение:

I) D=

=-(-1)²⁺¹*2*

Так как D≠0, то система имеет единственное решение.

II) Найдём X₃ по формулам Крамера

D₃=

Откуда

III) Решим систему методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы

Последней матрице соответствует система

Из последнего уравнения получаем X₄=-1, из третьего

Из второго

Из первого

Ответ: X₁=X₂=1, X₃=X₄= -1. или (1,1,-1,-1).

7) Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение.

Найдите частное решение, если x= x=1.

Решение

Перепишем систему уравнений в виде

Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к удобному для исследования виду

(b)

Мы видим, что ранг основной и расширенной матрицы равен трём, следовательно, система совместна. Матрице (b) соответствует система

Найдём её общее решение

Т.е.- Общее решение.

Найдём частное решение, если

Ответ:

-общее решение.

(2, 0, 4, 1, 1)- частное решение.

8) Дана система однородных линейных уравнений

Докажите что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее

решение системы. Найдите какую – нибудь фундаментальную систему решений.

Решение. Будем решать систему методом Гаусса. Записываем матрицу системы и, действуя только со строками, получаем нули ниже главной диагонали.

→

Ранг основной матрицы расширенной матрице 2

Получаем систему эквивалентную данной

Так как ранг матрици меньше числа неизвестных, то система имеет нетривиальное решение.

общее решение системы.

Найдём фундаментальную систему решений, положив

X₅=1

(-1, 0001)

Ответ:

общее решение системы.

(-1,0,0,0,1)- фундаментальная система решения.

9) Найдите если

Решение:

Ответ:

10. Вычислите длину высоты AH пирамиды ABCD, если

A(-3,3,3);B(3,0,0);C(3,1,-1);D(1,-2,1).

Решение:

1. Найдём объём пирамиды.

2. Найдём S-площадь ∆BCB

S=

III) откуда

Ответ:

11)Линейный оператор A действует в по закону

где - произвольный

вектор из . Найдите матрицу A этого оператора в каноническом базисе.

Докажите, что вектор является собственным для матрицы А.

Найдите собственное число, соответствующее вектору x.

Найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение:

1. Так как A(1,00)=(4,0,0), A(0,1,0)=(-2,2,1), A(0,0,1)=(2,2,1),

То, записав в столбцы координаты полученных векторов, получим матрицу А.

2. Проверим, что вектор X(2,2,1) является собственным вектором матрицы А.

Так как А_x=3_x, то вектор X(2,2,1) собственный и отвечает собственному числу λ₀=3

3. Чтобы найти все остальные собственные числа, составляем характеристические уравнения.

Откуда λ=3, λ=4, λ=0

4, 3, 0 – собственные числа матрицы А.

IV) Найдём все собственные векторы матрицы А.

Собственный вектор, отвечающий собственному числу 3, мы знаем это вектор (2,2,1)t, t≠0. Найдем собственный вектор, отвечающий числу λ=4

Запишем систему

Второе уравнение равно первому, поэтому его можно вычеркнуть из системы

Мы получим систему:

Вектор (1, 0, 0)t (t≠0) – собственный вектор, отвечающий числу λ=4

Проверка:

Следовательно, вектор (1, 0, 0)t – собственный вектор, отвечающий собственному числу λ=4

Найдём собственный вектор, отвечающий собственному числу λ=0

Запишем систему:

Третье уравнение равно второму.

Перепишем систему:

X₂= -X₃ пусть X₃=-1, тогда X₂=1, X₁=1

Вектор (1,1,-1)t собственный вектор матрицы А.

Проверим:

Ответ: 0, 3, 4 – Собственные числа матрицы А.

(1, 1, -1)t, (2, 2, 1)t, (1, 0, 0)t – собственные векторы матрицы А.