Контрольная работа 1 / 1- 5_Высшая математика

Министерство образования

Российской Федерации

Томский Государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа № 1

По дисциплине: Высшая математика-1

Вариант № 5

Выполнил:

Специальность:

""

Формула расчёта варианта: V=(N*n) div 100 = 10*55 div 100 = 5

Логическое имя:

Пароль:

Проверил:

1. Найти матрицу: D = (AС - AВ), если

С = , В = , А =

Решение:

Используя свойство операций над матрицами, можем записать:

D = A(C - B).

Так как -1В = -1* = , то

(С+(-В)) = = , поэтому

D = A(C - B) = * = =

Ответ: вторая строка (14,6,-2).

2. Вычислить определитель D = ,

Решение:

Первую строку просуммируем со второй строкой, умноженной на -2

Третью строка просуммируем со второй строкой, умноженной на -1

Получим:

D =, разлагая по элементам первой строки получаем:

D =

Второй столбец просуммируем с первым, умноженным на -1, получим:

D =, разлогая по элементам первой строки получаем:

D = = - (2 - 3) = 1

Ответ: 1.

Или можно так:

Разлагаем определитель по элементам первой строки:

D = 2 * (-1)¹⁺¹ + 2 * (-1)¹⁺² + (-1)¹⁺³ = 2 - 2 +

Получили определитель третьего порядка который можно вычислить по правилу «треугольников» или ещё раз разложить по первой строке:

D = 2 * ((-1)¹⁺¹ + (-1)¹⁺² ) – 2 * ((-1)¹⁺¹ - (-1)¹⁺² ) + ((-1)¹⁺¹ + (-1)¹⁺² ) = 2 * (2 – (4-3)) – 2 * (2 - 2) + (1 - 2) = 1

3. Решить матричное уравнение: Х * = 16

Решение:

det A = - 2 + = -11 + 28 – 1 = 16 0,

поэтому данная матрица имеет обратную.

Находим алгебраическое дополнение всех элементов матрицы А:

А¹₁ = = -3 – 8 = -11 А¹₂ = - = - (-4 -10) = 14

А¹₃ = = -16 + 15 = -1

А²₁ = - = - (-2 + 4) = -2 А²₂ = = - 1 + 5 = 4

А²₃ = - = - (- 4 + 10) = -6

А³₁ = = - 4 – 3 = - 7 А³₂ = - = - (- 2 - 4) = 6

А³₃ = = 3 - 8 = -5

Поделив найденные элементы присоединённой матрицы на det A, получим

А^-1 =

Х = 16 * = * = =

Проверим правильность решения, для этого в начальном уравнении вместо неизвестного поставим найденную матрицу:

* = = = 16

Ответ..

4. При каком значении параметра p, если оно существует, последняя строка матрицы

А = является линейной комбинацией первых трёх строк?

Решение:

Преобразуем матрицу, получив нули в первом столбце:

А₁ = =

Получим также ноль ниже строки 0, -3, 3, 1:

А₂ = =

Ранг матрицы равен трём так, как минор третьего порядка

= + 2 - 2 = 0 + 0 – 0 = 0

Параметр p из пропорционального уравнения: , p = 7

Ответ: p = 7.

5. Относительно канонического базиса R₃даны четыре вектора: f₁=(1,1,1), f₂=(1,2,3), f₃=(1,3,6), x=(4,7,10). Докажите, что векторы f₁, f₂, f₃, можно принять за новый базис в R₃.Найдите координаты вектора x в базисе f_i.

Решение.

Составим матрицу, записав в её столбцы координаты векторов f₁, f₂, f₃:

С = . Вычисляем определитель:

det С = 1 * (-1)¹⁺¹ * + 1 * (-1)¹⁺² * + 1 * (-1)¹⁺³ * = 3 – (6 - 3) + 1 = 10

Так как det С 0, то векторы f₁, f₂, f₃ линейно независимы, а могут быть приняты в качестве базиса в R₃.

Матрица С невырождённая поэтому имеет обратную С^-1 Найдём обратную:

Найдём алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы:

А = = 3, А = - = -3, А = = 1

А = - = -3, А = = 5, А = - = -2

А = = 1, А = - = -2, А = = 1

Высчитаем элементы обратной матрицы по формуле: , получаем:

С^-1 = , находим новые координаты вектора x:

= * = =

Ответ. .

5. Докажите, что система , имеет единственное решение. Неизвестное x₂ найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение:

Найдём x₂ по формуле Крамера:

Найдём определитель: D = = = - = - = = 1 0 поэтому система имеет единственное решение.

Заменяем второй столбец свободными членами уравнения:

D₂ = = = - = - = -3 = -3(-1 + 0) = 3

Находим: = = 3

Решим систему методом Гаусса:

Далее можем записать систему уравнений: .

Ответ. (2,3,-2,-1)

5. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение.

Найдите частное решение, если

Решение:

Запишем расширенное матричное уравнение и приведём его к виду, в котором легко увидеть базисный минор:

= = = = =

В качестве базисного минора берём = 1 0

Неизвестные приняты в качестве зависимых, а в качестве свободного.

Запишем преобразованную систему:

находим: - Общее решение системы.

Находим частное решение если :

Ответ: (1,1,6,1) – частное решение, - общее решение системы.

5. Дана система однородных линейных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

Ранг матрицы равен трём, что меньше числа неизвестных, следовательно, по теореме данная система уравнений имеет нетривиальное решение.

При нашем значении базисного минора неизвестные: - зависимые,

а - зависимые.

Система эквивалентна: - общее решение

Фундаментальная система решений содержит (5-3=2) решения.

Поочерёдно подставляя значения (0,1), (1,0) в уравнение ,

Получим: (-5,6,9,-1,0), (0,0,-1,0,-1) – Фундаментальное решение.

Ответ: - общее решение,

(5,-5,-9,1,0), (0,0,1,0,1) – фундаментальное решение.

9. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2p + 3r,

b = p – 2r, если, , .

Решение:

b h_a S = a * h_a = a * b * sin

a

S = = Применяя свойства векторов, находим:

S= = = 7 = 7[p][r] sin

Так как [p,p] = [r,r] =0, а [r,p] = - [p,r], подставляя значения, находит площадь:

S = 7 * * 3 * = 21 см²

Ответ: 21 см²

10. Вычислите Пр_BD [BC,CD], если B(6,3,3), C(6,4,2), D(4,1,4).

Решение:

Найдём векторы: BD, BC, CD:

BD = (-(x_B-x_D),-(y_B-y_D),-(z_B-z_D)) = (-(6-4),-(3-1),-(3-4)) = (-2,-2,1)

BC = (-(x_B-x_C),-(y_B-y_C),-(z_B-z_C)) = (-(6-6),-(3-4),-(3-2)) = (0,1,-1)

CD = (-(x_C-x_D),-(y_C-y_D),-(z_C-z_D)) = (-(6-4),-(4-1),-(2-4)) = (-2,-3,2)

(-1,2,2)

Применяя формулы: , находим

Пр_BD [BC,CD] = = =

Ответ: Пр_BD [BC,CD] = .

10. Линейный оператор A действует в по закону

А_x = (-x₁+2x₂+x₃,5x₂,3x₁+2x₂+x₃), где x(x₁,x₂,x₃) – произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х = (1,0,3) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число, соответствующее вектору х. Найдите другие собственные числа, отличающиеся от .

Найдите все собственные векторы А и сделайте проверку.

Решение:

Так, как А(1,0,0) = (-1,0,3), А(0,1,0) = (2,5,2), А(0,0,1) = (1,0,1)

Записав в столбцы координаты полученных векторов найдём матрицу:

А = - матрицу оператора в каноническом базисе.

Докажем, что вектор х = (1,0,3) является собственным матрицы А:

Ах = * = = = 2 * , так, как Ах = 2х х = (1,0,3) собственный и отвечает собственному числу = 2

= = -(1+) * - 2 * + =

-(1 + )(5 - )(1-) -3(5-) = (5 - )(² - 4) = 0, откуда:

₁ = 2, ₂ = -2, ₃ = 5

Собственными числами являются 2,-2,5.

Найдём собственные векторы отвечающие ₁ = 2: ,

ранг этой матрицы равен двум, поэтому состоит из одного решения:

из второго получаем x₂ = 0

таким образом: положим х₁ = 1 собственный вектор х = (1,0,3)

Проверка: * = = = 2

Найдём собственные векторы отвечающие ₂ = -2: ,

из уравнения следует: положим х₁ = 1, тогда: х = (1,0,1)

Проверка: * = = = -2

Найдём собственные векторы отвечающие₃ = 5: ,

очевидно, что х = (0,0,0).

Ответ: А = - матрицу оператора в каноническом базисе.

₁ = 2: х = (1,0,3),

₂= -2: х = (1,0,1)

₃ = 5: х = (0,0,0)