Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика-1»

Выполнил:

студент ТМЦДО

специальности 200400z

бря 2003 г.

г. ПАРИЖ

2003 г

ВАРИАНТ № 1.6

Задание 1.

Найти матрицу , если .

Решение:

Умножение CA и BA возможно, т.к. число столбцов матрицы С равно числу строк матрицы А, (точно также и для В).

Воспользуемся правилом умножения двух матриц:

3) Чтобы выполнить действие вычитания, необходимо вычесть соответствующие элементы полученных матриц.

Ответ:

Задание 2.

Вычислить определитель .

Решение:

Для вычисления определителя 4-го порядка применим следующее свойство: определитель не изменится, если элементы столбца (строки) умножить на какое-либо число не равное нулю и сложить с соответствующими элементами другого столбца (или строки).

Для данного определителя выполним следующие преобразования:

Умножим элементы первой строки на «–2» и сложим с соответствующими элементами второй строки, затем элементы первой строки умножим на «-1» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, элементы первой строки умножим на «-4» и сложим с соответствующими элементами четвертой строки.

В результате получим определитель, который можно разложить по элементам первого столбца, применяя теорему «Определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения»

, - полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника

Ответ: D=57

Задание 3.

Решить матричное уравнение .

Решение:

Матричное уравнение вида AX = kB решается умножением обеих частей уравнения «слева» на матрицу, обратную матрице А:

_{Для нашего случая k = 42}

Следовательно, необходимо вначале

1)проверить существует ли матрица, обратная матрице А

2)если она существует, то найти ее

3)выполнить умножение , а затем на k

Матрица А должна быть невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю. Проверим это

Найдем элементы присоединенной матрицы

Ответ:

Задание 4.

При каком значении параметра q, если оно существует, обведенный минор матрицы А является базисным? Матрица А имеет вид:

Решение:

Обозначим через и коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых четвертая строка выражается через первые две.

Получаем систему:

Решая систему получим

при этих значениях четвертое и пятое уравнения обращаются в тождество, из третьего уравнения находим . Т.е. первую строку умножаем на 2, а элементы второй на 3 складываем и получаем четвертую строку. Т.е. четвертая строка является линейной комбинацией первых двух при .

Ответ: .

Задание 5.

Относительно канонического базиса в заданы четыре вектора:

Доказать, что векторы можно принять за новый базис в . Найти координаты вектора в базисе .

Решение:

Составим матрицу С, записав в столбцах координаты векторов .

вычислим определитель этой матрицы.

Т.к. , то векторы линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в . Вектор . Матрица С невырожденная, поэтому имеет обратную матрицу . Найдем ее.

Т.К. , то Новые координаты вектора Х найдем путем умножения обратной матрицы на Х.



Ответ: новые координаты

Задание 6.

Докажите, что система имеет единственное решение неизвестное Х₃ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

Система 4-х линейных уравнений с 4-мя неизвестными имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля.

Задание 6.

Докажите, что система имеет единственное решение неизвестное Х₂ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

Система 4-х линейных уравнений с 4-мя неизвестными имеет единственное решение, если ее главный определитель отличен от нуля.

Составим определитель Данный определитель был найден во втором задании и он не равен нулю. Найдем оставляя без изменения первый столбец, умножим его на «-1», на «-2» и складываем соответственно со вторым и четвертым столбцами. В результате получим определитель Разложим полученный определитель по элементам первой строки и будем иметь:

Следовательно, по формуле Крамера

Далее продолжим решение системы методом Гаусса.

Т.к. строки матрицы состоят из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, то их можно менять местами, если необходимо умножать на какое-то число и складывать с другими строками. Иначе, выполнять над строками матрицы различные линейные преобразования. Умножим элементы первой строки расширенной матрицы на -2, на -1, на -4 и сложим с соответствующими элементами второй, третьей и четвертой строк.

_{Поменяем местами третью и четвертую строки, умножив четвертую на «-1», а третью на «-2».}

Получим, что

Ответ:

Задание 7.

Дана система линейных уравнений Доказать, что система совместна. Найти ее частное решение, если

Решение:

Система линейных уравнений совместна в том случае, если ранги основной и расширенной матрицы равны между собой.

Запишем расширенную матрицу и вычислим два минора третьего порядка, если они равны нулю и миноры второго порядка неравные нулю, то ранг матрицы будет равен 2.



Т.к. миноры второго порядка не равны нулю, то ранг матриц равен 2, следовательно, система совместна. Решим систему методом ГАУССА.

Первую строку расширенной матрицы умножим на –2, на –1, и сложим со 2-ой, 3-ей и 4-ой строками, получим:

Получаем Вторую строку умножим на –1 и сложим с 3-й, вторую сложим с 4-й.

Запишем систему уравнений

подставим в первое уравнение системы Получим

Т.е. получено общее решение

Найдем частное решение, если , тогда

Ответ: система совместна, общее решение: ,

частное решение:

Задание 8.

Дана система линейных однородных уравнений:

Доказать, что система имеет нетривиальное решение. Найти общее решение системы. Найти какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

Однородная система всегда совместна, т.к. она имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг был меньше числа неизвестных, только в этом случае система имеет свободные неизвестные, которым можно придать любые значения. Т.к. уравнений в системе три, а неизвестных пять, то ее ранг не может быть больше трех, т.е. уже выполняется необходимое и достаточное условие нетривиального решения.. Запишем матрицу системы и выполним некоторые линейные преобразования.

Вторую строку сложим с третьей строкой

Запишем преобразованную систему уравнений.

В качестве базисного примем минор

Выражая зависимые переменные через свободные, получим:

Выразим , затем

Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым

умножим первое уравнение на –3, а второе на 2 и сложим

общее решение имеет вид:

Фундаментальная система содержит 5-2=3 решения (разность между числом неизвестных и рангом). Свободным неизвестным , можно придать поочередно значения (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1). Если, то , т.е. фундаментальная система решений имеет вид:

Ответ: 1)система имеет нетривиальное решение,

2) - общее решение.

3) - фундаментальная система решения

Задание 9.

Найти

Решение:

По свойству скалярного произведения:

Ответ:.

Задание 10.

Найти угол (в градусах), образованный вектором с осью OY, если А(-5,1,1); В(1,-2,-2); D(-1,-4,-1).

Решение:

Найдем координаты векторов

Найдем векторное произведение:

Угол между вектором и осью OY есть угол между и вектором j(0;1;0)



Ответ: угол составит 90⁰.

Задание 11.

Линейный оператор А действует в по закону , где

- произвольный вектор.

1. найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе

2. доказать, что вектор является собственным для матрицы А

3. найти собственное число , соответствующее вектору Х

4. найти другие собственные числа, отличные от

5. найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение:

Т.к. А(1,0,0)=(3,-1,2), А(0,1,0)=(0,0,-4), А(0,0,1)=А(0,1,4)

1) Записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

2) Проверим, что вектор Х(1,3,10) является собственным матрицы А

, т.к. , то отсюда следует, что вектор (1,3,10) –собственный для матрицы и отвечает собственному числу

3) собственное число

4) Чтобы найти все другие собственные числа, составим характеристическое уравнение

Вычислим этот определитель, получим:

5) Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу

в качестве свободного неизвестного можно выбрать и выразить через него . Получим - общее решение системы.

Полагая, что , найдем собственный вектор X=(0,1,2).

Проверка

Следовательно, вектор (0,1,2) – собственный и отвечает

числу .

Ответ: вектор (0,1,2) – собственный и отвечает числу .

Используемая литература.

1. Л.И. Магазинников Высшая математика, Томск, 2003 г.

2. П.Е. Данко Высшая математика в упражнениях и задачах, Москва, Высшая школа, 1999г.

3. Сборник задач по высшей математике под ред. проф. В.И. Ермакова, Москва: ИНФРА-М, 2002 г.

4. В.С. Щипачев Высшая математика, Москва, Высшая школа, 1998 г.

5. Сборник задач по математике для втузов под. ред. А.В. Ефимова и П.Б. Демидовича, Москва: «Наука», 1986 г.