Задание №8.

Вычислить |[a, b]|, если a = 3p + r, b = p – 3r, |p| = 7, |r| = √2, (p^r) = 45º.

Решение.

|[a, b]| = |[3p + r, p – 3r]| = | 3[p, p] – 9[p, r] + [r, p] – 3[r, r]|

Так как [p, p] = [r, r] = 0 , [p, r] = -[r, p] , то получим

|9[r, p] + [r, p]| = 10[r, p] = 10|r| * |p|sin45º = 10 * √2 * 7 * √2/2 = 70

Ответ: |[a, b]| = 70.

Задание №9.

Вычислить объём пирамиды, заданной координатами своих вершин: A (-4, 2, 2); B (2, -1, -1); C (2, 0, -2); D (0, -3, 0).

Решение.

Объём пирамиды, заданной векторами a, b, c равен V = 1/6 * |(a, b, c)|. Найдём объём пирамиды через векторы AB, AC, AD.

AB = {6, -3, -3},

AC = {6, -2, -4},

AD = {4, -5, -2}.

6 -3 -3

(AB, AC, AD) = 6 -2 -4 = 24 + 48 + 90 – 24 – 36 – 120 = -18

4 -5 -2

V = 1/6 * |-18| = 3

Ответ: V = 3

Задание №10.

Линейный оператор A действует в R₃ → R₃ по закону

Ax = (4x₁ – 5x₂ + 2x₃, 5x₁ – 7x₂ + 3x₃, 6x₁ – 9x₂ + 4x₃). Найти матрицу A этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор x(1, 1, 1) является собственным для матрицы A. Найти собственное число λ₀, соответствующее вектору x. Найти другие собственные числа, отличные от λ_0. Найти все собственные векторы матрицы A и сделать проверку.

Решение.

Найдём матрицу A в каноническом виде.

Ae₁ = (4, 5, 6), Ae₂ = (-5, -7, -9), Ae₃ = (2, 3, 4)

Получим матрицу, записав в столбцы координаты полученных векторов

4 -5 2

A = 5 -7 3

6 -9 4

Докажем, что вектор x является собственным для матрицы A.

4 -5 2 1 4 – 5 + 2 1

Ax = 5 -7 3 * 1 = 5 – 7 + 3 = 1

6 -9 4 1 6 – 9 + 4 1

Отсюда мы видим, что Ax = x, т.е. λ₀ = 1.

Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

4 – λ -5 2

|A – λE| = 5 -7 – λ 3 = (4 – λ) * -7 – λ 3 + 5 * 5 3 + 2 * 5 -7 – λ =

6 -9 4 – λ -9 4 – λ 6 4 – λ 6 -9

= (4 – λ)(-28 + 7λ – 4λ + λ↑2 + 27) + 5(20 - 5λ – 18) + 2(-45 + 42 + 6λ) = -λ↑3 + λ↑2 = 0

Решим уравнение

λ↑2 * (λ – 1) = 0

получим λ = 0

λ = 1

Собственный вектор, отвечающий собственному числу 1 уже известен. Найдём второй собственный вектор, решив систему уравнений

4x₁ – 5x₂ + 2x₃ = 0

5x₁ – 7x₂ + 3x₃ = 0

6x₁ – 9x₂ + 4x₃ = 0

Из третьего уравнения вычтем второе, и его же вычтем из первого умноженного на 2. Получим

x₁ – 2x₂ + x₃ = 0

2x₁ – x₂ = 0

x₁ + x₃ = 2x₂

x₁ = x₂/2

x₁ = x₂/2

x₃ = 3x₂/2

Подставив, например, x₂ = 2, получим собственный вектор x = (1, 2, 3)

Проверка.

4 -5 2 1 4 – 10 + 6 0

5 -7 3 * 2 = 5 – 14 + 9 = 0

6 -9 4 3 6 – 18 + 12 0

т.е. вектор (1, 2, 3) действительно является собственным и отвечает собственному числу 0.

Ответ: λ₀ = 1, λ₁ = 0

x = (1, 2, 3).