Контрольная работа №1 по высшей математике студента первого курса обучения тмцдо. Вариант №1.

Выполнение работы.

Задание №1.

Найти матрицу D=(3A-4B)C, если

A= 1 -2 3 , B = 2 -1 -3 , C= 1 2

2. -1 4 -1 2 -4 -1 -2

-2 3

Решение.

Матрицу D находим, используя правила умножения матрицы на число, сложения матриц и умножение матриц

D= 3 -6 9 _ 8 -4 -12 1 2 -5 -2 21 1 2

6 -3 12 -4 8 -16 -1 -2 = 10 -11 28 -1 -2

- 2 3 -2 3

Так как число элементов в строках первой матрицы равно числу элементов в столбцах второй матрицы, можно найти их произведение

D = -5+2-42 -10+4+63 = -45 57

10+11-56 20+22+84 -35 126

Ответ:D = -45 57

-35 126

Задание №2.

-1 -1 7 1

Вычислить определитель D = 4 1 2 -1

-3 0 4 1

1 1 0 3

Решение.

В первом столбце получим три нулевых элемента. Для этого сложим первую и последнюю строки, затем последнюю, умноженную на 4, вычтем из второй, затем эту же строку, умноженную на 3, сложим с третьей. В результате получим

0 0 7 4

D = 0 -3 2 -13

0. 3 4 10

1 1 0 3

Разлагая по элементам первого столбца, получим

0 7 4

D = 1(-1)^(4+1) -3 2 -13

3 4 10

Пользуясь правилом треугольника, получим

D = -1((0+(-273)+(-48)-(24+(-210)+0)) = -1(-321+186) = 135

Ответ: D = 135.

Задание №3 .

Решить матричное уравнение 2 4 * X = 6 10

5 6 7 21

Решение.

Пусть A = 2 4 , B = 6 10 . Тогда данное уравнение будет иметь вид AX=B.

5 6 7 21

Так как detA = -8, то матрица A невырождена, поэтому она имеет обратную себе матрицу. Умножим обе части уравнения на A↑ (-1)

A^(-1)*A*X=A^(-1)*B

X=A^(-1)*B

Получив алгебраические дополнения матрицы A, найдём все элементы матрицы A↑(-1). Получим

A^(-1) = -3/4 1/2

5/8 -1/4

Затем найдём матрицу X, умножив матрицы A↑ (-1) на B. Получим

X = -18/4+7/2 -30/4+21/2 = -1 3

30/8-7/4 50/8-21/4 2 1

Ответ:X = -1 3

2 1

Задание №4.

Найти такие значения параметров p и q, если они существуют, при которых ранг матрицы

1 2 -4 3

A = 1 -3 2 -4 равен двум.

2 -1 p -1

0 -5 6 q

Решение.

Так как минор второго порядка не равен нулю, то ранг матрицы A не меньше двух. Чтобы он был равен двум нужно, чтобы третья и четвёртая строки матрицы были линейной комбинацией двух первых.

Обозначим через икоэффициенты линейной комбинации, с помощью которых третья строка выражается через первые две.

(1, -3, 2, -4) = (2, -1, p, -1)

Составим систему

= 2,

2 - 3= -1,

-4= p,

3 = -1.

Отсюда решим систему

 2,

- 3= -1.

Из первого уравнения, выразив и подставив во второе уравнение,

 - 

 - 2- 3-

получим и 





Из третьего уравнения системы найдём p

P = 2 – 4 = -2

Аналогично найдём q

= 0,

2 - 3= -5,

-4= 6,

3 = q

 0,

- 3= -5

-

-2- 3= -5

-



q = -3 – 4 = -7

p = -2,

q = -7

Ответ: p = -2, q = -7.