Контрольная работа 1 / 1-10_Высшая математика

11

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №1

По дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 1.10

Учебное пособие: Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. «Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» - Томск 2003.

Выполнил:

Студент ТМЦДО

Специальность

Томск

Задание №1: Найдите сумму диагональных элементов матрицы С=АВ-ВА, если

А=, В=.

Решение:

А∙В=∙==

=.

В∙А=∙= =

=

С == 11+10+(-21)=0

Ответ: 0

Задание №2: Вычислите определитель D =

Решение: D== 1-ю строку умножаем на (-1) и к ней прибавляем 2-ю, затем 1-ю строку умножаем на (-3) и к ней прибавляем 3-ю, затем 1-ю строку умножаем на (-2) и к ней прибавляем 4-ю = полученный определитель раскладываем по элементам первого столбца.

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, получаем :

D=1∙(-1)

Первую строку вычтем из второй, затем первую строку вычтем из третей.

D==1∙(-1)=1∙(0∙(-4)-3∙(-6))=18

Ответ: 18.

Задание №3:

Решить матричное уравнение

Решение:

=А; =В; Х∙А =В;

Находим обратную матрицу матрице А.

Det A = = -9 –2 –6 + 3 + 9 + 4 = -10. Матрица не выражена.

Элементы обратной матрицы находим по формуле b=. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А, т.е. элементы присоединенной матрицы.

А = = 0; А = = - (-2+3) = -1; А = = 2 – 3= -1;

А = - = - (-2+1)=1; А = = -3+1=-2; А= -= - (3 – 2) = - 1;

А = = -6 + 3= -6+3=-3; А = - = - (-9+2) = 7; А = = 9-4=5;

А^-1 = .

Найдём Х=В∙А.

∙ = = .

Ответ: Х=.

Задание №4: Докажите, что третья строка матрицы является

линейной комбинацией первых двух. Найдите коэффициент этой линейной комбинации.

Решение:

→, т.к. 2 и 3 строки пропорциональны, то вычеркнув 3-ю, ранг матрицы не изменится, т.к. М= то r=2,→ - базисный минор, det А=0, т.к. 2 и 3 строки пропорциональны.

λ₁,λ₂ – коэффициенты.

(5,-4,2,3)=λ₁(-1,2,4,1)-λ₂(2,-1,3,2)

отсюда получаем систему :

→ ; 3 = 6, = 2, - + 4 = 5, = -1.

Ответ: λ₁=-1, λ₂=2.

Задание №5: Относительно канонического базиса в R даны четыре вектора:

f(3,2,1),f(2,3,1),f(-1,-3,-1),x(2,1,1).Докажите, что векторы f,f,f можно принять за новый базис в R. Найдите координаты вектора x в

базисе f.

А = , Вычислим определитель этой матрицы.

DetС = = - 9 – 6 – 2 + 3 + 9 + 4 = -1 0.

матрица невыроженнаяимеет С^-1, векторы f _1, f _2, f₃ - линейно независимы,могут принять в качестве базиса R_3.

С==0; С=-=1; С==-3; С=- =-1;

С==-2; С=-=7; С==-1; С=-=-1; С==5

С=0; С=1; С=-3; С=-1; С=-2; С=7; С=-1; С=-1; С=5;

С^-1=. Проверим правильность обратной матрицы:С∙С^-1

Получили единичную матрицу, значит обратная матрица найдена, верно.

Найдем координаты х (x,х,х)

.

Ответ: Координаты вектора х (2,-3,-2).

Задание№6: Доказать, что система имеет единственное решение. Неизвестное найти по формуле Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

А) Вычислим определитель системы

D= =====18≠0

Отсюда следует что система имеет единственное решение:

D₃=.

DX₃ = = = = 204 + 70 + 32 – 52 – 80 – 56 = =18.

По формуле Крамера х===1

Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную систему и приведём её к треугольной форме.

===

,

Ответ: х₁=2,х₂=-1,х ₃=1, х₄=1.

Задание №7: Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. Найдите частное

решение, если х=х=1.

, применим метод Гаусса. из 4-й вычитаем 3-ю строку, далее из4-й строки, умноженной на (-2) вычитаем 2-ю строку, затем из 4-й строки вычитаем 1-ю, →. Три первые строки пропорциональны, 1-ю и 3-ю можно вычеркнуть не меняя ранга матрицы →система совместна, т.к. ранг основной матрицы и расширенной =2, - базисный минор, х_1, х₂ – зависимые, х_3, х₄ – свободные.

Данная система эквивалентна системе:

x= 5- 4x,

x = - 2(5 – 4x) + x + 2x= - 10 + 8x + x + 2x,

- общее решение.

Находим частное решение по условию: x= x=1.

x= 9 + 2 – 10 = 1. x= 5 – 4 = 1.

Ответ: (1; 1; 1; 1).

Задание №8: Дана система линейных однородных уравнений. Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Докажем, что система имеет нетривиальное решение, решим систему методом Гаусса.

А=

. Ранг матрицы равен 3-м. Зависимые неизвестные x, xи x, свободные x и x. - базисный минор, х₁, х₂, х₃ – зависимые, х₄, х₅ – свободные. Данная система эквивалентна системе - общее решение.

Фундаментальная система решений содержит два решения (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем два частных линейно независимых решения, придавая поочередно свободным членам значения (1,0),(0,1).

Ответ: (3,1,3,1,0), (-1,0,0,0,1).

Задание №9: При каком значении вектор p = a + b перпендикулярен вектору r = 5a – 4b, если = = 2, (a,b) = 60.

Решение: p перпендикулярен r, то (p,r)=0.

(p,r)=((a+άb),(5a-4b))=5(a,a)-4(a,b)+5ά(a,b)-4ά(b,b)=5│a²│-4│a│∙│b│∙cos60°+5ά│a│∙│b│∙cos60°-4ά│b²│=5∙4-4∙2∙2∙+5ά∙2∙2∙-4ά∙4=12-6ά,

ά=2.

Ответ: ά=2.

Задание №10: Вычислите высоту СН пирамиды ABCD, если A(-2,2,2);

B(0,-2,-2); C(0,-1,3); D(-2,-4,-1).

Решение: Высота пирамиды CH= h= , V – объем пирамиды,

S – площадь грани ADB. Находим объем пирамиды, ребрами которой являются

векторы а,в,с, равный объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах а,в,с.

V=, находим CB=(0-0,-2-(-1),-2-(-3))=(0,-1,1);

CA=(-2-0,2-(-1),2-(-3))=(-2,3,5); CD=(-2-0,-4-(-1),-3-(-1))=(-2,-3,2);

(CB,CA,CD)===-2∙(-1∙3-1∙6)=-2∙(-9)=18;

V=;

Находим площадь грани ADB. Площадь грани ADB равна площади параллелограмма построенного на тех же векторах.

Находим: AB=(0-(-2),-2-2,-2-2)=(2,-4,-4)

AD=(-2-(-2).-4-2,-1-2)=(0,-6,-3)

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AD. Находим векторное произведение векторов.

=12i – 12h – 24i + 6g = -12i + 6g – 12h = 6(-2i + g – 2h).

S = ∙ 6CH = h = =1.

h=CH=.

Ответ: 1 это высота СН пирамиды ABCD.

Задание №11: Линейный оператор A действует в R R по закону Ax = (-x,3x₁ + 2x - 2x, -2x + 3x – 3x). Найдите матрицу A этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор x(0, 2, 3) является собственным для матрицы A. Найдите собственное число , соответствующее вектору x. Найдите другие собственные числа, отличные от .

Найдите все собственные векторы матрицы A и сделайте проверку.

A = ,

Ах=т.к. Ах=-1х, то вектор х(0,2,3) является собственным матрицы А, , и отвечает собственному числу λ= -1.

Найдем другие собственные числа, отличные от , соответствующие вектору х. Чтобы найти другие собственные числа, составим характеристическое уравнение.

A - = = (- 1 -λ)(2-λ)(-3 -λ) + 6(-1 -λ)=(-2 + λ – 2λ + λ)(-3 – λ)-6 – 6λ = (-2 – λ + λ)(-3 – λ) – 6 – 6λ = 6 + 3λ – 3λ + 2λ + λ - λ - 6 –6λ = -λ - 2λ -λ = 0.

λ= 0, λ+ 2λ + 1 = 0, λ= -1.

Находим собственные векторы, отвечающие собственному числу λ=-1

,Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений. Составим систему линейных однородных уравнений.

Вычитая из второго уравнения третье, находим что, -5∙, х=0, тогда 6

- является общим решением системы.

Положим, например, , найдем собственный вектор Х (0,8,12).

Проверка.

Вектор Х(0,8,12) является собственным для матрицы и отвечает собственному

числу λ. Собственными векторами, отвечающими числу λ, будут и

векторы (0,8,12)∙t, где t≠0.

Находим собственные векторы, отвечающие собственному числу λ=0

Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:

общее решение системы. Положив, например х₂=1, получим, собственный вектор

х¹=(0, 1, 1).

Вектор х=(0, 1, 1) является собственным и отвечает собственному числу λ= 0. Также собственными векторами, отвечающими собственному числу λ= 0, будут (0, 1, 1)∙t, где t0.

Ответ:-1, 0.