4. Дано: Решение:

i = (0;3;4); e Пусть L проходит через e(0;0;0),

p₁: 2x + y – z – 6 = 0; M P1 тогда уравнение L:

з₂Ж 2ч + н – я – 4 = 0ж ч ₌ н ₌ я ж

0 3 4

Найти: MN ; P₂ N Найдём точки пересечения

прямой p₁ и p₂:

L

x = 0;

L y = 3t;

z = 4t; x = 0;

0 + 3t – 4t – 6 = 0, t = 6  y = -18;  M(0;-18;-24)

z = -24;

x = 0;

L  p₂:0 + 3t – 4t – 4 = 0, t = 4  y = -12;  N(0;-12;-16);

z = -16;

MN = {0 – 0; -12 + 18; -16 + 24} = {0;6;8};

MN  = 0 + 36 + 64 = 10   MN = 10.

Ответ: 10.

5. Дано: Решение:

L: x – 1 ₌ y – 2 ₌ z ; Найдём направляющие векторы L₁ и L₂:

m n 34 N = {3;2;0};

L₁: 3x – 2y + 3 = 0; N = {0;1;-3};

н – 3я + 3 = 0ж e₁ [N,N] = i j k

L₂: 2x – 3z – 4 = 0; 3 -2 0 = i * 6 – j * (-9) + k * 3 = 6i + 9j + 3k;

y – 2z + 1 = 0; 0 1 -3  e₁ = {2;3;0};

n₁ = {2;0;-3};

Найти: m, n - ? n₂ = {0;1;-2};  e₂ [n₁,n₂] = i j k

2 0 -3 =

0 1 -2

= I* (0 + 3) – j* (-4) + k*(2) = 3i + 4j + 2k;

e₂ = {3;4;2};

1) z = 0; y = -3; x ₌ -6 – 3 ₌ -3;  M₁(-3;-3;0)  L_1;

3

2) z = 0; y = -1; x = 2;  M₂(2;-1;0)  L₂;

 L₁: x + 3 ₌ y + 3 ₌ z _;

2 3 1

 L₂: x – 2 ₌ y + 1 ₌ z _;

3 4 2

e = {m;n;34};

Если прямые пересекаются, то (r₂ -r₁;e₁ -e₂) = 0

M(1;2;0)  l;

1) MM₁ = {-3 – 1; -3 – 2; 0}= {-4;-5;0};

(MM₁;e_;e₁) = 0;

2) MM₂ = {2 – 1; -1 – 2; 0 - 0}= {1;-3;0};

(MM₂;e;e₂) = 0;

-4 -5 0

m n 34 = -4(n - 102) + 5(m - 68) _

2 3 1 -1(2n - 136) + 3(2m - 102)

-1 -3 0

m n 34 = -4n + 408 + 5m – 340 = 0 _

3 4 2 -2n + 136 + 6m – 306 = 0

_ -4n + 5m = -68 _

-2n + 6m = 170 *2

_ -4n + 5m = -68 m ₌ 408_;

-4n + 12m = -340 _ 7

-7m = -408 n ₌ 629_;

7

Ответ: 408/7; 629/7.

6. Дано: Решение: z

(0;0;z₀), z₀ > 0;

p: 2x + 3y +6z + 7 = 0;

d = 7;

L 0y;

z = 0;

-7/3 7/2

z y

z₀

y -7/6

L x

x

т.к. L  0y; L p;

N = {2;3;6}, тоe [N,j] – направляющий вектор

прямой L.

[N,j] = i j k

0 1 0 = 1*( -1)⁵ – (6i – 2k);

2 3 6

e = {3;0;-1}- направляющий вектор d;

d ₌ Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D ₌ z 

A₂ + B₂ + C₂

d ₌ D*3 + 3*0 + 6z₀ + 7 ₌ 7 

4 + 9 + 36

6z₀ + 7= 49;

z₀ = 7 

 L: x = 3t;

y = 0;  L  z = 0;

z = -t + 7; x = 3*7 = 2e;

-t + 7 = 0  t = 7;

Ответ:2e.

7. x² + y² – 4x + 8y = 17, M(1;2);

Уравнение касательной:

∂F (M)(X – X₀) + ∂F (M)(Y – Y₀) = 0;

∂X ∂Y

∂F │M = (2x – 4)│M = 2 – 4 = -2;

∂X

∂F │M = (2y + 8)│M = 4 + 8 = 12;

∂Y

-2(x - 1) + 12(y - 2) = 0 _ x – 6y + 11 = 0 - уравнение касательной.

(x - 1) – 6(y - 2) = 0

8. 9x² + 25y² – 18x – 150y + 9 = 0;

8.1 Преобразуем уравнение, выделяя квадраты:

9(x² – 2x + 1) – 9 + 25(y² – 6y + 9) – 225 + 9 = 0;

9(x - 1)² + 25(y - 3)² = 225;

(x – 1)² ₊ (y – 3)² ₌ 1 – уравнение эллипса.

25 9

8.2 x – 1 = 0; _ x = 1; _ O₁(1;3) – центр симметрии.

y – 3 = 0; y = 3;

8.3 a = 25 = 5 – большая полуось;

b = 9 = 3 – малая полуось.

4. y = 3 – уравнение фокальной оси;

5. y

3 5

0 x

1

9. x² – 10x + 2y + 25 = 0.

9.1 Преобразуем уравнение, выделяя квадраты:

x² – 10x + 25 = -2y;

(x – 5)² = -2y – уравнение параболы;

9.2 x – 5 = 0; _ x = 5; _ (5;0) – вершина параболы;

-2y = 0; y = 0;

9.3 x² = 2py, 2p = -2  p = -1;

9.4 x = 5 – ось симметрии;

y

1 2 3 4 5 x

0

10. 15x² – 20xy – 70x + 20y + 135 = 0;

Приведём кривую к конечному виду:

a₁₄x² + 2a₁₂xy + a₁₂y² + 2a₁₂x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0;

 = 15 -10 = -100<0  гиперболический тип;

-10 0

15 -10 -35

 = -10 0 10 = 3500 + 3500 – 1500 – 13500 = - 8000    уравнение

-35 10 135 определяет гиперболу:

Приводим к коническому виду:

₁x₂² + ₂y₂² + / = 0;

15- -10 _{= 0} ² - 15 -100 = 0;

-10 - ₁ = 20, ₂ = -5;

20x₂² – 5y₂² + 80 = 0;

y₂² _- x₂² ₌₁ – уравнение сопряжённой гиперболы;

16 4

Найдём координаты нового центра O₁:

a₁₁x_e + a₁₂y_e + a₁₃ = 0; _ 15x_e – 10y_e – 35 = 0; _ x_e = 1; _ O₁(1;-2);

a₁₂x_e + a₁₂y_e + a₂₃ = 0; -10x_e + 10 = 0; y_e = -2

Уравнение новых осей : y – y_e = K(x – x_e):

K₁ = (₁ – a₁₁)/a₁₂ = (20 – 15)/-10 = -0,5;

K₂ = -1/K₁ = 2;

y + 2 = -0,5(x – 1)  y = -0,5x – 1,5 (O₁;x₂);

y + 2 = 2(x – 1)  y = 2x – 4 (O₁;y₂) – фокальная ось;

a = 2 – минимальная полуось;

b = 4 – действительная полуось.

y

1

0 x

2