9. Алгебра геометрических векторов.

Задание № 9.

Найти угол (в градусах), образованный вектором, c осью OY, если А (-5,1,1); В (1,-2,-2); D(-1,-4,-1).

Решение:

Так как,

= (1-(-5), -2-1, -2-1) = (6, -3, -3)

= (-1-1, -4 – ( - 2), -1 – (-2)) = (-2, -2, 1)

= = -9i + 0j – 18k = -9i - 18k = -9*(i + 2k)

Косинус угла между векторами AB и BD находим по формуле:

cos = = 0 следовательно,  =

Ответ: =

10. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные числа линейных операторов.

Задание № 10.

Линейный оператор А действует в по закону(3, -+,2-4+4), где х (,,) – произвольный вектор. Найти матрицу А этого оператора в каоническом базисе. Доказать, что вектор х (1,3,10) является собственным для матрицы А. Найти собственное число, соответствующее вектору х. Найти другие собственные числа, отличные от. Найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение: Так как А (1,0,0) = (3,-1,2); А (0,1,0) = (0,0,-4); А(0,0,1) = (0,1,4), то записав координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

А =

Проверим, что вектор х = (1,3,10) является собственным матрицы А. Находим:

Ах = * = = = 3

Так как Ах = 3х, то отсюда следует, что вектор х (1,3,10) собственный и отвечает собственному числу = 3.

Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение:

= = (3 - ) * = (3 - ) * (-4+ +4) = (3 - ) *

*( -4+4) = 3 - 12 + 12 - + 4 - 4 = - + 7 - 16 + 12 = 0

Нам известно, что число = 3 – корень уравнения.

Разделив многочлен - + 7 - 16 + 12 на (- - 3), получим - + 4 - 4. Другие числа найдем, решая уравнение:

-+ 4 - 4 = 0 = 2

Собственными числами является 2, 3.

Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

= 2.

Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образует фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений.

= 0

- - 2+= 0

2 - 4+ 2= 0

Находим определитель:

D = = 1* (- 4 - ( - 4)) = 0

Т.к. определитель этой системы совпадает с определителем = 0 , следовательно, ранг матрицы этой системы, очевидно, равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Вычитая первое уравнение, из второго получаем= 2. Таким образом,

= 0

= 2 является общим решением системы.

Например, пусть = 1, найдем собственный вектор х = (0,1,2).

Проверка: * === 2 *т.е. вектор

(0,1,2) является собственным и отвечает собственному числу  = 2.

Теперь находим собственные векторы, отвечающие собственному числу = 3.

Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образует фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений.

- - 3+ 3= 0

2 - 4+= 0

Находим определитель:

D = = 0

Т.к. определитель этой системы совпадает с определителем = 0 , следовательно, ранг матрицы этой системы, очевидно, равен двум. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения.

= + 3

2- 4++ 3= 0

= + 3

3-= 0

= + 3*3= 10

= 3

= 3

= 10 является общим решением системы.

Например, пусть = 1, следовательно= 3,= 10 теперь найдем собственный вектор х = (1,3,10).

Проверка: * === 3 *т.е. вектор

(0,1,2) является собственным и отвечает собственному числу = 3