1. 2.
3.
Исключили неизвестное
из второго, третьего и четвертого
уравнения. Умножив первое уравнения
на –2 и прибавив его ко второму, мы
получили уравнение, не содержащее
.
Аналогичный результат получился,
умножив первое уравнение на –1 и –4 и
прибавить соответственно к третьему
и четвертному уравнениям системы.Затем, исключили из четвертого и третьего уравнения
.
Для этого вторую строку умножили на -
(множитель равен отношению соответствующих
коэффициентов взятому с обратным
знаком) и прибавляется к третьему, затем
на -
и прибавляется к четвертому.Наконец, исключили
из четвертого уравнения, прибавляя к
нему третье, умноженное на –1.
Таким образом, данная система эквивалентна системе:
-
-
+ 2
= 1
5
+ 5
- 8
= 3
5
+ 31
= -26
=
-1
из
которой легко находим
= -1;
5
-31 = -26
5
=
-26 + 31
=
=
1;
5
+ 5*(1) – 8*(-1) = 3
5
= 3-5-8
=
-
=
-2;
-
1*(-2) – 1*(1) + 2*(-1) =1
=
1-2+1+2
=
2;
Ответ: Мы получили решение: (2, -2, 1, -1).
7. Решение неопределенных систем линейных уравнений
Задание № 7
Дана система линейных уравнений:
2
+ 2
+ 3
+ 2
= 3
4
+ 5
+ 5
+ 4
= 6
2
+ 3
+ 2
+ 2
= 3
2
+ 3
+ 2
+ 3
= 2
Доказать,
что система совместна. Найти её общее
решение. Найти частное решение, если
= -1.
Решение: Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.
D
=
Первую строку, умноженную на 2, вычли из второй, из третьей строки вычли первую, и из четвертой вычли первую. Мы получили матрицу с двумя одинаковыми строками. В состав базисного минора может войти только одна из них, например вторая. Третье уравнение можно вычеркнуть из системы. Видим, что ранг основной и расширенной матриц равен двум, следовательно, система совместна. В качестве базисного минора выберем минор
0, т.е. неизвестные
,
,
,
,
а
- в качестве свободных. Данная
система эквивалентна
системе: 2
+ 2
+ 3
+ 2
= 3
-
= 0
-
+
= -1
Через 2 строку
найдем
:
-
= 0
-1 -
= 0
= -1
Через 3 строку
найдем
:
-
+
= -1
-1 + 1 +
= -1
= -1
Через 1 строку
найдем
:
2
+ 2
+ 3
+ 2
= 3
2
- 2 - 3 - 2 = 3
2
=
10
= 5
Мы получили частное решение (5, -1, -1, -1).
Проверка:
(2*5) + (2*(-1)) + (3*(-1)) + (2*(-1)) = 10-2-3-2 = 3
(4*5) + (5*(-1)) + (5*(-1)) + (4*(-1)) = 20-5-5-4 = 6
(2*5) + (3*(-1)) + (2*(-1)) + (2*(-1)) = 10-3-2-2 = 3
(2*5) + (3*(-1)) + (2*(-1)) + (3*(-1)) = 10-3-2-3 = 2
Ответ: (5, -1, -1, -1).
8. Алгебра геометрических векторов.
Задание № 8.
Найти
,
если а = 6p – r,
= 2
,
= 3, (
,
r) =
.
Решение:
| а 
= (а, а) = (6p – r,
6p – r) = 36 | p 
- 12pr + | r 
= 36 * (2
- 12 *
* 2
*3*
+ ( 3
= 36*8 – 72 + 9 = 288 – 72 +9 = 225
Ответ: 225.