3. Ранг матрицы. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Задание № 4.

При каком значении параметра q, если оно существует, обведенный минор матрицы А имеет вид:

А =

Решение:

= -1 – 4 = -5  0 так как обведенный минор не равен нулю, следовательно

ранг матрицы А равен двум.

Путем элементарных преобразований матрицы, не меняя ее ранга, преобразуем матрицу к такому виду, чтобы легко было увидеть при каком значении q обведенный минор является базисным.



 

q=7    Итак, ранг

матрицы равен двум только при q = 7.

Ответ: При q = 7 обведенный минор матрицы А является базисным.

5. Формулы перехода от одного базиса к другому. Задание № 5

Относительно каонического базиса вдано четыре вектора (4,2,-1), (5,3,-2),(3,2,-1),x (12,7,-3). Доказать, что векторы , ,можно принять за новый базис в. Найти координаты вектора х в базисе.

Решение: Составим матрицу С, записав в ее столбцах координаты векторов , ,.

С = . Вычислим определитель этой матрицы. Находим

det C = = = -1* () = - (0-1) = 1

(умножили первую строку на 2 и вычли ее из второй, затем эту же строку умножили на 1 и вычли из третьей).

Т.к. det C 0, то векторы, ,линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса.

Матрица С невырождена, а поэтому имеет обратную матрицу . Найдем ее:

= = 1 = - = 0 = = -1

= = - 1 = = -1 = - = 3

= = 1 = - = -2 = = 2

Так как det С = 1, то = . Новые координаты,,вектора х

находим по формуле перехода от одного базиса к другому базису :

= * = =

Ответ: Мы доказали, что векторы ,,,можно принять за новый базис,

следовательно, являются новыми координатами вектора х относительно

этого базиса.

6. Решение систем линейных уравнений, удовлетворяющих правилу Крамера.

Задание № 6

Доказать что система:

- -+ 2= 1

2+ 3+ 3- 4= 5

+ + 2+ 5= -3

4+ 2+ 3+ 16= -9

имеет единственное решение. Неизвестное найти по формуле Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение: Вычислим определитель системы:

Получим нули в первом столбце:

D = = = () * =

= 1 * = () * = (-1) * ((-5) * (-32)) - ((-7) * (-31))= (-1)*

* (160 – 217) = (-1)* (-57) = 57 (третью строку умножили на 1 вычли из первой, затем третью строку умножили на 2 вычли из второй, так же третью строку умножили на 4 и вычли из четвертой. Теперь вычеркиваем первый столбец и третью строку, получилась матрица размером 3х3, еще раз получим в первом столбце нули: умножили вторую строку на –2 и вычли ее из первой, а затем вычли из третьей. Затем вычисляем определитель по правилу определителя второго порядка).

D0, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель (в определителеD второй столбец заменен столбцом свободных членов).

Получим в первом столбце нули:

= == () *= 1* ((3*3*8) +

+ (5*3*(-13)) + ((-8)*(-4)*7) – ((-8)*3*(-13)) – (5*(-4)*8) – (3*3*7)) = 72 – 195 + 224 – 312 + 160 – 63 = - 114 (умножили первую строку на 2, и вычли ее из второй, затем умножили первую строку 1, и вычли ее из третьей, так же первую строку умножили на 4, и вычли из четвертой. Теперь, вычеркнули первый столбец и первую строку, после чего получилась матрица размера 3х3. Затем вычисляем определитель по правилу третьего порядка).

Следовательно, по формуле Крамера == -2. Решим данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только со строками.