Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика_2

Вариант 1.6.

1. Найдите матрицу D = (CA - BA), если С = , В = ,

А = .

Решение.

Используя свойства операций над матрицами, получим.

С · А = · = = ,

В · А = · = =

D = - = =

Ответ: D =

2. Вычислить определитель.

D =

Решение.

Пользуясь свойствами определителя, в первом столбце получим три нулевых элемента:

Разлагая этот определитель, по элементам первого столбца получим:

D = 1 · (-1)¹⁺¹ · =

Последний определитель вычислим по правилу треугольников:

D = 5 · 3 · 8 + 5 · 3 · 6 + 2 · 7 · (- 8) – 6 · 3 · (- 8) – 7 · 3 · 5 – 2 · 5 · 8 = 120 + + 90 – 112 + 144 – 105 – 80 = 354 – 297 = 57

Ответ: D = 57.

3. Решите матричное уравнение:

· X = 42

Решение.

Найдем определитель матрицы:

Δ = = 15 + 4 + 2 + 12 – 1 + 10 = 42 ≠ 0

Матрица невырожденная, а значит имеет обратную матрицу.

Обозначим А = , В = 42

тогда данное уравнение можно записать в виде: А · Х = В

Х = А^-1 · В

Обратная матрица имеет вид:

А^-1 =

Найдем алгебраические дополнения.

А =

А₁₁ = = 15 – 1 = 14

А₁₂ = - = - (-10 - 4) = - (-14) = 14

А₁₃ = = 2 – (- 12) = 2 + 12 = 14

А₂₁ = - = - (- 5 - 1) = - (-6) = 6

А₂₂ = = - 5 – 4 = - 9

А₂₃ = - = - (1 - 4) = - (- 3) = 3

А₃₁ = = 1 – (- 3) = 1 + 3 = 4

А₃₂ = - = - (1 - 2) = - (- 1) = 1

А₃₃ = = - 3 – 2 = - 5

Тогда обратная матрица имеет вид:

à = , А^-1 = · = =

Х = А^-1 · В = · 42 = · = =

= =

Проверка.

· = =

= = 42 ·

Ответ:

4. При каком значении параметра q, если оно существует, обведенный минор матрицы А является базисным? Матрица А имеет вид А =

Решение.

Так как обведенный минор второго порядка не равен нулю, то ранг матрицы не меньше двух. Он будет равен двум, когда третья и четвертая строки являются линейными комбинациями первых двух строк.

Преобразуем матрицу А, получив нули в первом столбце:

А₁ =

Ранг матрицы А₁ равен двум (обведенный минор второго порядка отличен от нуля) в том случае, когда третья и четвертая строки пропорциональны, т.е. если

Отсюда 12 = 3 + q

q = 12 – 3

q = 9

Итак, ранг матрицы А равен 2 только три q = 9.

Обведенный минор является базисным, так как:

= 0

- 27 – 12 – 72 + 72 + 27 +12 = 0

Так как базисным минором матрицы А называется любой отличный от нуля минор этой матрицы, порядок которого равен рангу матрицы А.

Ответ: q = 9

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора:

f₁ (4, 2, - 1), f₂ (5, 3, - 2), f₃ (3, 2, -1), x (12, 7, -3). Докажите, что векторы f₁ , f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найдите координаты вектора х в базисе f_i.

Решение.

Составим матрицу С, записав в ее столбцы координаты векторов f₁ , f₂, f₃:

С =

Найдем определитель этой матрицы:

Δ С = = 4 · - 5 · + 3 · = 4 · (-3 + 4) – 5 · · (-2 + 2) + 3 · (-4 + 3) = 4 · 1 – 5 · 0 + 3 · (-1) = 4 – 0 – 3 = 1 ≠ 0

Так как Δ С ≠ 0, то вектора f₁ , f₂, f₃ линейно не зависимы, а по этому могут быть приняты в качестве базиса в R₃

Матрица С не вырожденная, а по этому имеет обратную матрицу С^-1.

Найдем ее.

А₁₁ = = -3 – (-4) = - 3 + 4 = 1

А₁₂ = - = - (- 2 + 2 ) = 0

А₁₃ = = - 4 – (- 3) = - 4 + 3 = - 1

А₂₁ = - = - (- 5 + 6) = - 1

А₂₂ = = - 4 – (- 3) = - 4 + 3 = - 1

А₂₃ = - = - (- 8 + 5) = - (- 3) = 3

А₃₁ = = 10 – 9 = 1

А₃₂ = - = - (8 – 6) = - 2

А₃₃ = = 12 – 10 = 2

=, С^-1 = · =

Новые координаты n¹, n², n³, вектора х находим по формулам:

= С^-1 ·

= · = =

Ответ:

6. Докажите, что система

имеет единственное решение. Неизвестное х₂ найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение.

Находим определитель системы:

D = = = 1· = = 5 · -

- 5 · - 8 · = 5 · (24 - 21) – 5 · (16 - 18) – 8 · (14 - 18) = 5 · 3 – 5 · (- 2) – – 8 · (- 4) = 15 + 10 + 32 = 57 ≠ 0

Так как D ≠ 0, то система имеет единственное решение.

Находим определитель D₂ (в определение D второй столбец заменим столбцом свободных членов).

D₂ = = = 1 · = =

= 3 · - 5 · - 8 · = 3 · (24 - 21) – 5 · (- 32 + 39) – 8 · (- 28 + 39) =

= 3 · 3 – 5 · 7 – 8 · 11 = 9 – 35 – 88 = 9 – 123 = - 114

По формуле Крамера х₂ = = = - 2

Решим данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только со строками.

→ → →

→

Данная система эквивалентна системе:

Ответ: (2; - 2; 1; - 1)

7. Дана система линейных уравнений

Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. Найдите частное решение, если х₂ = - 1.

Решение

Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками, из которой можно видеть базисный минор. → → →

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной матриц равен 2, значит, система совместна. В качестве базисного выберем минор

= 2 ≠ 0, т.е. неизвестные х₁ и х₂ приняты в качестве зависимых, а х₃ и х₄ в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе:

Выразим зависимые переменные через свободные:

Получим общее решение системы: (2,5 – 2,5х₃; х₃; х₃; - 1)

Полагая х₂ = - 1, найдем частное решение системы:

Ответ: (5; - 1; - 1; -1)

8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение.

Исследуем систему методом Гаусса. Запишем ее матрицу, действуя только со строками, упрощая ее, не меняя ранга. А = →

Вторая и третья строки пропорциональны, вычеркиваем третью строку, не меняя ранга матрицы.

Ранг матрицы равен 2, он меньше числа неизвестных. Значит, по Теореме 2 система имеет нетривиальное решение. Обведенный минор = 4 ≠ 0 можно принять в качестве базисного. При таком выборе базисного минора неизвестные х₂ и х₃ зависимые, а х₁, х₄, х₅ – свободные. Данная система эквивалентна системе: выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение:

Фундаментальная система решений содержит 5 – 2 = 3 решения

Если х₁ = 2

х₄ = - 2

х₅ = 1

то получим частное решение: (2; - 2; 3; - 2; 1)

Ответ: (х₁; - х₁ + 0,5х₄ + х₅; - 1,5х₄; х₄; х₅)

(2; - 2; 3; - 2; 1)

9. Найдите , если а = 6 р – r, = , = 3, (p,^r) = 45^о

Решение.

= (а, а) = (6p – r, 6p - r) = 36 - 12 (p, r) + = 36 ()² – 12 · · 3 · · cos 45^о + 3² = 36 · 4 · 2 – 72 · · + 9 = 288 – 72 + 9 = 225

= = 15, где (p, r) = · · cos (p, r) = · 3 · = 6

Ответ: 15

10. Найдите угол (в градусах), образованный вектором [AB, BD] с осью OY, если А (- 5, 1, 1); В (1, - 2, - 2); D (-1, - 4, - 1).

Решение.

Найдем координаты вектора :

= (1 + 5; - 2 – 1; - 2 - 1) = (6; - 3; - 3)

Координаты вектора :

= (- 1 – 1; - 4 + 2; - 1 + 2) = (- 2; - 2; 1)

[, ] = = i · - j · + k · = i · (- 3 –

- 6) – j · (6 - 6) + k · (- 12 - 6) = - 9i + 0j – 18k

Найдем угол, образованный вектором [AB, BD] с осью OY, по формуле:

cos β = = , где γ = 0, = = = = = =

Тогда cos β = = 0, cos β = 0,

значит ∟β = 90^о

Ответ: 90^о

11. Линейный оператор А действует в R₃ → R₃ по закону Ах = (3х₁, - х₁, + х₃, 2х₁, - 4х₂, + 4х₃), где х (х₁, х₂, х₃) – произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х (1, 3, 10) является собственным для матрицы А. найдите другие собственные числа, отличные от γ_о. Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение.

Найдем матрицу в каноническом базисе: l₁ (1; 0; 0), l₂ (0; 1; 0), l₃ (0; 0; 1), для этого Al₁ = (3; - 1; 2)

Al₂ = (0; 0; - 4)

Al₃ = (0; 1; 4)

Значит, А =

Докажем, что вектор х (1; 3; 10) является для матрицы: А = и найдем соответствующее собственное число.

А · х = · = = = 3 ·

Отсюда следует, что вектор х = (1; 3; 10) собственный и отвечает собственному числу γ = 3

Составим характеристическое уравнение:

= 0, = 0

(3 - γ) (- γ) (4 - γ) + 4 (3 - γ) = 0

(3 - γ) (-γ (4 - γ) + 4) = 0

(3 - γ) (- 4γ + γ² + 4) = 0

(3 - γ) (γ² - 4γ + 4) = 0

(3 - γ) (γ - 2)² = 0

3 – γ = 0 или γ – 2 = 0

γ₁ = 3 или γ₂ = 2

Запишем системы для определения собственных векторов, отвечающим собственным числам γ = 3 и γ = 2

1) Если γ = 3

-

+

2х₁ – 6х₂ + 2х₃ = 0

2х₁ – 4х₂ + х₃ = 0

- 10х₂ + 3х₃ = 0

В качестве свободного неизвестного можно выбрать х₃ и выразить через него неизвестные х₁ и х₂. Получим:

Полагая х₃ = 10, найдем собственный вектор (1; 3; 10)

Проверка. · = = = 3 · , т.е. вектор (1; 3; 10)^Т – собственный и отвечает собственному числу γ = 3.

2) Если γ = 2

Если х₃ = 4,

х₂ = 2, то (0; 2; 4)

Проверка. · = = = 4 · = 2 ·

Т.е. вектор (0; 2; 4)^Т – собственный и отвечает собственному числу γ = 2

Ответ: γ = 3, γ = 2