Министерство Образования Российской Федерации.

Томский Университет Систем Управления и Радиоэлектроники.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1. по математике.

Студент 1-го курса факультета. "**".

Вариант № 10

2003.

Вариант 1.10

1. Найти матрицу если

Решение. Вначале умножим числа А*В и В*А.

А*В = * = = .

В*А = * = = .

С = + = = 11 + 10 – 21 = 0.

Ответ: 0.

2. Вычислить определитель .

Решение. D = = , D = 1 * (-1)²⁺¹ * ,

D = - - (-1) * (-1)¹⁺¹ = - (18).

Ответ: -18.

3. Решить матричное уравнение

сделать проверку.

Решение.

Пусть А = , В = ,

Тогда уравнение запишем в виде Х * А = В ,чтобы найти Х необходимо левую и правую часть умножить на А^-1, (Х * А * А^-1 = В * А^-1) = (Х = В * А^-1).

Находим обратную матрицу матрице А.

Det A = = -9 –2 –6 + 3 + 9 + 4 = -10. Матрица не вырождена.

Находим алгебраические дополнения.

А = = 0; А = = - (-2+3) = -1; А = = 2 – 3= -1;

А = - = - (-2+1)=1; А = = -3+1=-2; А= -= - (3 – 2) = - 1;

А = = -6 + 3= -6+3=-3; А = - = - (-9+2) = 7; А = = 9-4=5;

А^-1 = ,

Находим произведения матриц В * А^-1.

* = = ;

Проверка:

В*А^-1*А = * =

= .

Ответ: Х = .

4. Доказать, что третья строка матрицы является линейной комбинацией первых двух. Найти коэффициенты этой линейной комбинации.

Решение.

А = = 1 – 4 = - 3 Ранг матрицы не менее 2-х.

Находим.

DetA = = 2 + 30 – 32 + 20 – 4 – 12 = 0

DetA = = 3 + 20 – 8 + 5 – 4 –12 = 0

Проверим, что 3-я строка является линейной комбинацией первых двух.

~ ~ .

Да, третья строка линейно зависит от первых двух.

Находим коэффициенты линейной комбинации.

; 3 = 6, = 2, - + 4 = 5, = -1.

Ответ: = -1. = 2.

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора: f₁(3,2,1), f₂(2,3,1), f₃(-1,-3,-1), x(2,1,1).Докажите, что векторы f_1, f_2, f₃ можно принять за основной базис в R₃. Найдите координаты вектора x в базисе f_i..

Решение.

Покажем, что векторы f₁, f₂, и f_{3 ,} образуют базис. Составим матрицу.

А = , Вычислим определитель этой матрицы.

DetA = = - 9 – 6 – 2 + 3 + 9 + 4 = -1 0.

Да, векторы образуют базис. Находим координаты вектора Х в этом базисе.

Составим систему уравнений и решим её по формулам Крамера.

,

DetX₁ = = -6 – 6 – 1 + 3 + 6 + 2 = - 2.

DetX₂ = = - 3 – 6 – 2 + 1 + 9 + 4 = 3.

DetX₃ = = 9 + 4 + 2 – 6 – 3 – 4 = 2.

X = = 2; X= = -3; X = = -2;

Ответ: X = ;

6. Доказать, что система имеет единственное решение. Неизвестное найти по формуле Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Вычислим определитель системы.

D = = = = 16 + 20 – 4 – 8 + 10 – 16 = 18 0.

Система совместна т. к. определитель системы неравен нулю.

DX₃ = = = = 204 + 70 + 32 – 52 – 80 – 56 = 18.

X₃ = = = 1.

Решение системы методом Гаусса.

Запишем расширенную систему и приведём её к треугольной форме.

~~ =

, X₄ = 1, 3X₃ – 4 = - 1, 3X₃ =3, X = 1, X₂ – 2 – 4 = - 7, X₂ = - 1,

X₁ – 2 + 2 + 3 = 5, X₁ = 2.

Ответ: (2; - 1; 1; 1).

7. Доказать, что система совместна, найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₃ = x₄ = 1.

Решение.

Решим систему методом Гаусса.

~ ,

3-я и 4-я строки линейно выражены через первые две. Система совместна. X₁ и X_2, X₃ и X₄ – свободные независимые.

x= 5- 4x,

x = - 2(5 – 4x) + x + 2x= - 10 + 8x + x + 2x,

- общее решение.

Находим частное решение по условию x= x=1.

x= 9 + 2 – 10 = 1. x= 5 – 4 = 1.

Ответ: (1; 1; 1; 1).

8. Доказать, что система имеет нетривиальное решение. Найти общее решение системы. Найти фундаментальную систему решений.

Решение.

Докажем, что система имеет нетривиальное решение, решим систему методом Гаусса.

~ ~ - Система имеет нетривиальное решение.

Ранг матрицы равен 3-м. Зависимые неизвестные x, xи x, свободные x и x.

, , ,

,

- Общее решение.

Находим фундаментальную систему решений.

Положим: (1; 0), (0; 1),

x=11, x=5, x=3, x-1, x=0, x=0.

Ответ: (11; 5; 3; 1; 0);

(-1; 0; 0; 0; 1);

9. При каком значении вектор p = a + b перпендикулярен вектору r = 5a – 4b, если = = 2, (a,b) = 60.

Решение:

P = a + ab, r = 5a – 4b, = = 2, (ab)=60,

Векторы p и r перпендикулярны, значит (p*r)=0. Находим произведение векторов p и r.

(a + ab; 5a – 4b) = 5² – 4(a,b) + 5a(b,a) – 4a² = 5 - 4(a,b) + a(5(b,a) - 4) =

= 5 * 4 – 4 * 2 *2 * + a(5*2*2* - 4*4) = 20 – 8 + a(-6) = 12 – 6a = 0.

6a = 12, a = 2.

Ответ: a = 2.

10. Вычислите высоту CH пирамиды ABCD, если A(-2, 2, 2); B(0, -2, -2); C(0, -1, -3); D(-2, -4, -1).

Решение.

По правилу вычитания векторов находим векторы:

= {0 + 2; -2 – 2; -2 – 2} = {2; -4; -4},

= {0 + 2; -1 – 2; -3 – 2} = {2; -3; -5},

= {-2 + 2; -4 –2; -1 – 2} = {0; -6; -3}.

V = *S*h, h = , чтобы найти высоту необходимо найти объем пирамиды и площадь грани ABD.

V = = (18 + 48 – 60 –24) = (-18) = 3 (куб. ед.).

Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AD. Находим векторное произведение векторов.

= 12i – 12h – 24i + 6g = -12i + 6g – 12h = 6(-2i + g – 2h).

S = * 6CH = h = =1.

Ответ: CH=1.

11. Линейный оператор A действует в R R по закону Ax = (-x,3x₁ + 2x - 2x, -2x + 3x – 3x). Найдите матрицу A этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор x(0, 2, 3) является собственным для матрицы A. Найдите собственное число , соответствующее вектору x. Найдите другие собственные числа, отличные от .

Найдите все собственные векторы матрицы A и сделайте проверку.

Решение:

1). A = ,

2). Проверим, что вектор x = (0; 2; 3) является собственным матрицы A.

A = * = = = - 1*.

Ax = 1*x вектор x- является собственным матрицы A и отвечает ему собственное число = - 1.

3). Для нахождения других векторов составим характеристическое уравнение.

A - = = (- 1 - )(2-)(-3 - ) + 6(-1 - )=(-2 + λ – 2λ + λ)(-3 – λ)-6 – 6λ = (-2 – λ + λ)(-3 – λ) – 6 – 6λ = 6 + 3λ – 3λ + 2λ + λ - λ - 6 –6λ = -λ - 2λ -λ = 0.

λ= 0, λ+ 2λ + 1 = 0, = -1.

Находим второй собственный вектор.

Ранг матрицы этой системы r = 2.

Т.к. = = - 2 0.

x=0, x= x, Положим x= x= 1. второй собственный вектор который соответствует собственному числу λ,(0; 1; 1);

Проверка.

= = = 0 *

Ответ: = - 1, (0; 2; 3);

= 0, (0; 1; 1);