Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра промышленной электроники (ПрЭ)

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика-1»

Выполнил:

студент ТМЦДО

специальности 200400z

.

декабря 2003 г.

2003г

ВАРИАНТ № 1.9

Задание 1.

Найти матрицу , если .

Решение:

Умножение данных матриц возможно, т.к. они обе квадратные, второго порядка.

3) Чтобы выполнить действие вычитания, необходимо вычесть соответствующие элементы полученных матриц.

Ответ:

Задание 2.

Вычислить определитель .

Решение:

Для вычисления определителя 4-го порядка применим следующее свойство: определитель не изменится, если элементы столбца (строки) умножить на какое-либо число не равное нулю и сложить с соответствующими элементами другого столбца (или строки).

Для данного определителя выполним следующие преобразования:

Умножим элементы первого столбца на «–3» и сложим с соответствующими элементами второго столбца, затем на «4» и сложим с соответствующими элементами четвертого столбца.

В результате получим определитель, который можно разложить по элементам первой строки, применяя теорему «Определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения»

, оставляя без изменения первый столбец, умножим его на «-2» и сложим со вторым столбцом, затем на «-7» и сложим с третьим. В результате получим

Ответ: D=12

Задание 3.

Решить матричное уравнение .

Решение:

Матричное уравнение вида XA = B решается умножением обеих частей уравнения «справа» на матрицу, обратную матрице А:

Следовательно, необходимо вначале

1)проверить существует ли матрица, обратная матрице А

2)если она существует, то найти ее

3)выполнить умножение

Матрица А должна быть невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю. Проверим это

Найдем элементы присоединенной матрицы

Ответ:

Задание 4.

При каком значении параметра Р, если оно существует, строки матрицы А линейно зависимы.

Решение:

Обозначим через и коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых четвертая строка выражается через первые две.

Получаем систему:

Решая систему получим

при этих значениях третье и четвертое уравнения обращаются в тождество, из второго уравнения находим . Т.е. первую строку умножаем на «-1» и складываем со второй, в результате чего получим четвертую строку.

Ответ: Р=2

Задание 5.

Относительно канонического базиса в заданы четыре вектора:

Доказать, что векторы можно принять за новый базис в . Найти координаты вектора в базисе .

Решение:

Составим матрицу С, записав в столбцах координаты векторов .

вычислим определитель этой матрицы.

Т.к. , то векторы линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса в . Вектор . Матрица С невырожденная, поэтому имеет обратную матрицу . Найдем ее.

Т.К. , то Новые координаты вектора Х найдем путем умножения обратной матрицы на Х.



Ответ: новые координаты

Задание 6.

Докажите, что система имеет единственное решение неизвестное Х₃ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

Система 4-х линейных уравнений с 4-мя неизвестными имеет единственное решение, если определитель системы отличен от нуля.

Составим определитель Данный определитель был найден во втором задании. . Найдем

Следовательно, по формуле Крамера

Далее продолжим решение системы методом Гаусса.

Т.к. строки матрицы состоят из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, то их можно менять местами, если необходимо умножать на какое-то число и складывать с другими строками. Иначе, выполнять над строками матрицы различные линейные преобразования. Умножим элементы первой строки расширенной матрицы на -1, на -2, на -3 и сложим с соответствующими элементами второй, третьей и четвертой строк.

Получим, что

Ответ:

Задание 7.

Дана система линейных уравнений Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение, частное решение, если

Решение:

Система линейных уравнений совместна в том случае, если ранги основной и расширенной матрицы равны между собой.

Запишем расширенную матрицу и вычислим два минора третьего порядка, если они равны нулю и миноры второго порядка неравные нулю, то ранг матрицы будет равен 2.



Т.к. миноры второго порядка не равны нулю, то ранг матриц равен 2, следовательно, система совместна. Решим систему методом ГАУССА.

Первую строку расширенной матрицы умножим на –2, на –1, и сложим со 2-ой, 3-ей и 4-ой строками, получим:

Получаем Вторую строку умножим на –1 и сложим с 3-й, вторую сложим с 4-й.

Запишем систему уравнений

Из второго уравнения выразим подставим в первое уравнение

Т.е. получено общее решение

Найдем частное решение, если , тогда

Ответ: система совместна, общее решение:

частное решение:

Задание 8.

Дана система линейных однородных уравнений:

Доказать, что система имеет нетривиальное решение. Найти общее решение системы. Найти какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

Однородная система всегда совместна, т.к. она имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы ранг был меньше числа неизвестных, только в этом случае система имеет свободные неизвестные, которым можно придать любые значения. Т.к. уравнений в системе три, а неизвестных четыре, то ее ранг не может быть больше трех. Запишем матрицу системы и выполним некоторые линейные преобразования.

умножим первую строку на –2 и сложим со 2-ой, умножим на –1 и сложим с 3-й, в результате матрица примет вид:

Вторую строку умножим на –1 и сложим с третьей строкой

Запишем преобразованную систему уравнений, в которой ранг равен 2.

В качестве базисного примем минор

Выражая зависимые переменные через свободные, получим:

- общее решение.

Фундаментальная система содержит 4-2=2 решения (разность между числом неизвестных и рангом). Получаем два линейно независимых решения, придавая поочередно свободным неизвестным значения в результате получим:

Ответ: 1)система имеет нетривиальное решение,

2) - общее решение.

3) - решения фундаментальной системы.

Задание 9.

Найти

Решение:

Ответ: скалярное произведение векторов a и b равно 5.

Задание 10.

Вычислить высоту треугольника , опущенную из точки D, если А(1,2,2); В(3,-2,-2); D(1,-4,-1).

Решение:

Известно, что равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, поэтому, если найдем площадь треугольника , легко потом найдем высоту.



Площадь треугольника = 9. Поскольку



Ответ: высота равна 6.

Задание 11.

Линейный оператор А действует в по закону , где

- произвольный вектор.

1. найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе

2. доказать, что вектор является собственным для матрицы А

3. найти собственное число , соответствующее вектору Х

4. найти другие собственные числа, отличные от

5. найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение:

Т.к. А(1,0,0)=(3,2,1), А(0,1,0)=(0,0,2), А(0,0,1)=А(0,1,1)

1) Записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

2) Проверим, что вектор Х(0,1,2) является собственным матрицы А

, т.к. , то отсюда следует, что вектор (0,1,2) –собственный для матрицы и отвечает собственному числу

3) собственное число

4) Чтобы найти все другие собственные числа, составим характеристическое уравнение

Разложим данный определитель по элементам первой строки

5) Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу

в качестве свободного неизвестного можно выбрать и выразить через него неизвестные и Полагая, что , получим Найдем собственный вектор

(4,5,7).

Проверка

Следовательно, вектор (4,5,7) – собственный и отвечает

числу .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу

т.к. , то система уравнений примет вид - второе уравнение равно первому умноженному на 2. Следовательно,

получим . Полагая , найдем . Получим собственный вектор (0,1,-1).

Проверка

Следовательно, вектор (0,-1,1) собственный и отвечает собственному числу .

Используемая литература.

1. Л.И. Магазинников Высшая математика, Томск, 2003 г.

2. П.Е. Данко Высшая математика в упражнениях и задачах, Москва, Высшая школа, 1999г.

3. Сборник задач по высшей математике под ред. проф. В.И. Ермакова, Москва: ИНФРА-М, 2002 г.

4. В.С. Щипачев Высшая математика, Москва, Высшая школа, 1998 г.

5. Сборник задач по математике для втузов под. ред. А.В. Ефимова и П.Б. Демидовича, Москва: «Наука», 1986 г.