Контрольная работа 1 / 1- 4_Высшая математика_5

Министерство образования РФ

Томский государственный университет

систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

ТМЦ ДО

Контрольная работа №1

по дисциплине «Высшая математика-1»

авторы: Л. И. Магазинников

А. Л. Магазинникова

V= (10*45) div 100=4

Выполнил:

студент ТМЦДО

гр.:

специальности

№1.(AC3.РП) Найдите матрицу D=(2BA+ 3CA), если

B=, С=, A=

1)B*A=*=.

2) (B*A)*2=2*=.

3) (C*A)*3=3**=.

4) ((B*A)*2)+((C*A)*3)= +=.

Ответ: D=.

№2.(203)Вычислите определитель D=.

D= Чтобы найти определитель данной матрицы вычитаю первую строку умноженную на соответствующие числа, из всех остальных:

== далее вычитаю первую строку умноженную на 2 из третьей и полученную третью вычитаю из остальных умножая ее при этом на соответствующие числа:

====55-40=15.

Ответ: =15.

№3. (082.РП). Решите матричное уравнение: A*X=B.

* X=11*.

Чтобы найти матрицу Х нахожу det= ==7+4=11. Т. к. 11<>0, значит матрица невырожденная, а Х=

Для отыскания находим элементы присоединенной матрицы:

=4 =-8 =7

=2 =7 =-2

=-1 =2 =1

=

X==.

Ответ: .

№4.(4Р4). При каком значении параметра p ранг матрицы A= равен трём?

Для упрощения вычислений меняю местами 2 и 4 столбцы:

====

Сначала получаю нули в первом столбце, кроме , прибавляю к третей строке 2 умноженную на 2, делю третью на 3 и меняю её местами со второй, получаю нули во втором столбце под главной диагональю.

получаю пропорциональность: , откуда p=4.

Ответ 4.

№5.Относительно базиса в даны четыре вектора: (4,2,-1), (5,3,-2), (3,2,-1), х(4,3,-2). Докажите, что векторы ,, можно принять за новый базис в . (01М.Р7). Найдите координаты вектора х в новом базисе.

Решение:

Составим матрицу С, записав её в столбцах координаты векторов ,,:

С=.

Вычислим определитель этой матрицы:

det C====1.

Т. к. det С<>0, то векторы ,, линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса в . Матрица С невырожденная , а потому имеет обратную . Найдем её:

С=

=1 =-1 =1

=0 =-1 =-2

=-1 =3 =2

=. Найдем новые координаты вектора х:

*=.

№6. Докажите, что система: имеет единственное решение. (Д47). Неизвестное х найдите по формулам Крамера. (218.РЛ). Решите систему методом Гаусса.

Решение. Вычислим определитель системы:

D=======55-40=15.

D<>0, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель D:

D======-53+38=-15.

По формуле Крамера х=. Решим данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками.

Таким образом, данная система эквивалентна системе:

из которой легко находим х=-1, х=-8-19=-27, х=8-3+108=113,

х=-162-9+3=-168.

Получено решение: (-168, 113, -27, -1)

№7.Дана система линейных уравнений:

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение.(242.БП). Найдите частное решение, если х =1, х=1.

Решение. Применим к этой системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.

Отсюда следует, что ранг основной и расширенной мтриц равен 2, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберем минор <>0, т.е. неизвестные х1 и х2 приняты в качестве зависимых, а х3, х4 – в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе:.

Выражаем зависимые переменные через свободные: - общее решение системы, пологая что х =1, х=1, находим =2+1+1=4, =1.

Ответ: (4, 1, 1, 1).

№8. Дана система линейных однородных уравнений

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение . Исследовать систему будем методом Гаусса. Записываем её матрицу и, действуя только со строками, упрощаем её, не меняя ранга.

Две последние строки одинаковы, следовательно, ранг матрицы равен 2 и меньше числа неизвестных, значит система имеет нетривиальное значение.

Примем неизвестные х1, х3- за зависимые, а х2, х4-свободные. Данная система эквивалентна системе:

, или Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение: Фундаментальная система решений содержит 4-2=2 решения. Получаем 2 частных линейно независимых решения, проидавая поочередно свободным неизвестным значения (1, 0), (0, 1):

(2, 1, 0, 0)

(-41, 0, 15, 1)- Эти решения образуют фундаментальную систему решений. Любое другое решение является их линейной комбинацией.

№9(89П) Найдите , если , , , (a,^b)=120

=(r, r)=(3a-b, 3a-b)=9-6(a,b) + |b|=36+6*(2*5*0,5) +25=91.

|r|=

Ответ: 9.5/

№10. (9А2). Даны три вершины параллелограмма: А(0, 1, 2); В(3, 5, 2); С(5, 1, 2). Найдите длину высоты параллелограмма, опущенной на АВ.

Решение.

Известно, что величина равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b. Поэтому площадь треугольника АВС равна .

Так как АС(5, 0, 0) AB=(3, 4, 0), то ==20k, =, S=/2.

Высоту найду по формуле h= BC(2, -4, 0) |BC|=, h==1.

Ответ: 1.

№11.Линейный оператор А действует в R R по закону Ах=(2х+3х, 10х-3х-6х , -х-2х), где х(х, х, х)- произвольный вектор.(9С4.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х(1, 8, -1) является собственным для матрицы А. (863). Найдите собственное число , соответствующее вектору х.(284.5П). Найдите другие собственные числа, отличные от . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение.

1. Так как А(1, 0,0)=(2,10, -1), А(0,1,0)=(0, -3, 0), А(0,0,1)=(3, -6, -2), то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найду матрицу А: А.

2. Проверю, что вектор х=(1, 8, -1) является собственным матрицы А. Нахожу

Ах= = = .

Так как Ах=-х, то отсюда следует что вектор х(1, 8, -1) собственный и отвечает собственному числу =-1.

3. Чтобы найти все другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

| A-E|= =(2-) +3 = (2-)(-3-)(-2-)-

-3(3+)=-3 --3=0.

Нам уже известно, что число =-1- корень этого уравнения. Разделив многочлен -3 --3 на (+1) , получим -2- +3. Другие собственные числа найдем, решая уравнение -2- +3=0,

=, , . Значит собственными числами являются -3, -1, 1.

Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

=1. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

Ранг матрицы этой системы равен 2. Поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Таким образом является общим решением системы. Положив х=1, найдем собственный вектор х=(-3, -9, 1).

Проверка: = =1 .

Т. Е. вектор (-3, -9, 1) является собственным и отвечает собственному числу