Контрольная работа 1 / 1- 4_Высшая математика_2

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Контрольная работа №1 по высшей математике (часть 1), автор Л.И. Магазинников

Вариант №1.4

1. Найти матрицу D=(2BA+3CA), если

B=, C=, A=.

D=+=

=+=+=.

Ответ: D=.

2. Вычислить определитель

D=====

==2 (-11+65)=254=108.

Ответ: D=108.

3. Решить матричное уравнение

Уравнение вида АХ=11В. Находим detA.

Так как матрица А невырожденная, то X=A^-1B.

Для отыскания A^-1 находим элементы присоединённой матрицы.

Ответ:.

4. При каком значении р ранг матрицы равен трём?

Минор третьего порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы не ниже 3. Ранг матрицы равен трём, если третья и четвёртая строка пропорциональны, т.е.

Ответ: При р=4 ранг матрицы равен 3.

5. Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(4,2,-1), f₂(5,3,-2), f₃(3,2,-1), x(4,3,-2). Доказать, что векторы f₁,f₂,f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в новом базисе.

Составим матрицу C, записав в её столбцах координаты векторов f₁,f₂,f₃.

Вычислим определитель этой матрицы

Так как C 0, то векторы f₁,f₂,f₃ линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса в R₃.

Матрица С невырождена, а потому имеет обратную С^-1. Найдём её

Так как det C=1, то

Находим новые координаты вектора х

Ответ: Координаты вектора в новом базисе

6. Доказать, что система

имеет единственное решение. Неизвестное найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Вычислим определитель системы:

, поэтому система имеет единственное решение.

Находим определитель .

По формуле Крамера

Решим данную систему методом Гаусса.

Таким образом, данная система эквивалентна системе

Из которой находим

Ответ: (0,1,1,-1)

7. Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна. Найти её общее решение. Найти частное решение, если

Применим метод Гаусса.

Ранг основной и расширенной матриц равен 2, следовательно, система совместна. В качестве базисного выберём минор т.е. неизвестные и приняты в качестве зависимых, а - в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе .

Выражаем зависимые переменные через свободные:

- общее решение системы.

При

Ответ: (4,1,1,1).

8. Найти если

Ответ:

9. Дано три вершины параллелограмма Найти длину высоты параллелограмма, опущенной на АВ.

1. Найдём площадь параллелограмма.

Так как

То

Поскольку

Ответ: длина высоты

10. Линейный оператор А действует в по закону , где - произвольный вектор. Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор является собственным для матрицы А. Найти собственное число , соответствующее вектору . Найти другие собственные числа, отличные от . Найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

1. Так как , то записав в столбцы координаты полученных векторов, найдём матрицу А:

2. Проверим, что вектор является собственным для матрицы А. Находим

Так как , то отсюда следует, что вектор собственный и отвечает собственному числу .

3. Находим все другие собственные числа, для этого составляем характеристическое уравнение

Другие собственные числа найдём, решая уравнение

Находим собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.

Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют систему линейных уравнений

При собственный вектор .

Проверка: , т.е. вектор является собственным и отвечает числу .

Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют систему линейных уравнений

При собственный вектор .

Проверка: ,

т.е. вектор не является собственным.

Ответ: ,