Контрольная работа 1 / 1- 6_Высшая математика

11

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра высшей математики

Контрольная работа №1

по курсу "Высшая математика - 1"

Вариант 1.6

Преподаватель Студент группы

__________ / доц. Тупой И.И. / __________ / Пупкин В.И./

___________2002 г. до н.э. 35 ноября 2002 г. до н.э.

Томск 2002 до н.э.

1. Найти матрицу D = (CA – BA), если

, ,

Решение:

1)

2)

3)

Ответ:

2. Вычислить определитель

Решение:

Используя свойства определителя:

1. умножим первую строку на 2 и отнимем от второй строки

2. умножим первую строку на 4 и отнимем от четвертой

3. первую строку отнимем от третьей

Получим

^*Сумма D найдена по правилу «треугольников»

Ответ: D=57

3. Решить матричное уравнение

Решение:

Обозначим и

Вычисляем

,

значит матрица А невырожденная, а потому имеет обратную. Элементы

обратной матрицы находим по формуле

Алгебраические дополнения всех элементов матрицы А, т.е. элементы присоединенной матрицы

Обратная матрица

Находим X из уравнения AX=B, где A^-1AX=BA^-1, но A∙A^-1=E (E-единичная матрица).

Ответ:

4. При каком значении параметра q, если оно существует, обведенный минор матрицы А является базисным? Матрица А имеет вид:

Решение:

1. Определяем значение минора , значит ранг матрицы не меньше двух.

2. Через λ₁ и λ₂ обозначим коэффициенты линейной комбинации, с помощью которых четвертая строка выражается через первые две

, получим систему

Решаем подсистему

q=9

Второе и пятое уравнения превращаются в тождества.

3)Преобразуем матрицу А:

Так как в полученной матрице вторая и третья строки пропорциональны, то значит базисный минор равен 2–м, и q=9.

5. Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(4, 2, -1), f₂(5, 3, -2), f₃(3, 2, -1), x(12, 7, -3). Доказать, что векторы f_1, f_2, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в базисе f_i.

Решение:

Составим матрицу В, записав в ее столбцы координаты векторов f_1, f_2, f₃, т.е.

Находим определитель матрицы В: det B=1≠0, значит векторы f_1, f_2, f₃ линейно независимы, а потому могут быть приняты в качестве базиса R₃.

Матрица В невырождена, и поэтому имеет обратную (В^-1).

Находим В^-1:

В^-1=

Новые координаты вектора x обозначим η¹, η², η³ и найдем их по формуле:

Ответ:

Новые координаты вектора x=(2, -1, 3)

6. Доказать, что система

имеет единственное решение. Неизвестное x₂ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

а) Вычислим определитель системы

,

значит система имеет единственное решение.

б) Находим определитель D₂ (в определителе D второй столбец заменен столбцом свободных членов)

.

По формуле Крамера

в) Решаем данную систему методом Гаусса.

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только со строками

Данная система эквивалентна системе

,

из которой находим: x₄=-1, x₃=1, x₂=-2, x₁=2.

Решение системы (2, -2, 1, -1).

7. Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₂=-1

Решение:

Применим к системе метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее, действуя только со строками, чтобы увидеть базисный минор.

Третью строку можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы.

В результате получим матрицу

.

В качестве базисного выберем минор , т.е. неизвестные x₁ и x₂ приняты в качестве зависимых, а x₃ и x₄ – в качестве свободных.

- общее решение системы.

Найдем частное решение системы. Так как x₂= -1, то, подставляя во второе уравнение это значение, получим x₃= -x₄. Если x₃= -1, то x₄= 1, а x₁= 3. Получили частное решение (3, -1, -1, 1)

8 Найти |a|, если

, ,

Решение:

Ответ:

|a|=15

9. Найти угол (в градусах), образованный вектором [AB, BD] с осью OY, если A(-5, 1, 1); B(1, -2, -2); D(-1, -4, -1).

Решение:

Запишем координаты векторов AB = {6, -3, -2} и BD = {-2, -2, 1}.

Вектор

Находим угол между вектором [AB, BD] и осью OY по формуле

;

10. Линейный оператор A действует в R₃ → R₃ по закону Ax=(3x₁, -x₁+x₃, 2x₁-4x₂+4x₃), где x(x₁, x₂, x₃) – произвольный вектор. Найти матрицу A этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор x(1, 3, 10) является собственным для матрицы A. Найти собственное число λ₀, соответствующее вектору x. Найти другие собственные числа, отличные от λ₀. Найти все собственные векторы матрицы A и сделать проверку.

Решение:

а) Так как A(1, 0, 0)=(3, 0, 0), A(0, 1, 0)=(-1, 0, 1), A(0, 0, 1)=(2, -4, 4), то записав в столбцы координаты полученных векторов найдем матрицу A

б) Проверим, что вектор x=(1, 3, 10) является собственным матрицы A.

Так как Ax=3x, то вектор x(1, 3, 10) собственный и отвечает собственному λ₀=3.

в) Чтобы найти другие собственные числа, составляем характеристическое уравнение

Вычисляем определитель (3-λ)(-λ)(4-λ)+4(3-λ)=0

(3-λ)(-4λ+λ²+4)=0

λ₁=2; λ₂=3

г) Так как λ₀=λ₃=3, то можно найти собственный вектор для λ₁=2 и составить характеристическое уравнение

x₁=0, а x₃=2x₂, если x₂=1, то нашли собственный вектор (0, 1, 2).

д) Проверка