Контрольная работа 1 / 1- 7_Высшая математика_2
.doc
Министерство образования
Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра компьютерные системы
в управлении и проектировании (СУ)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине « Высшая математика- 1 »
2003
Задание:
Вариант 1.7
1(897.РП).
Найти матрицу D
= A
+ 2AC,
если
А
=
,
C
=
.
(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)
2(С17).
Вычислить определитель D
=
.
3(CD 8. БП) Решить матричное уравнение
*Х
=
.
4(ОА7). Найти значение параметра q, при котором ранг матрицы
А
=
минимален.
5.
Относительно канонического базиса в
R
дано четыре вектора f
(1,-3,4),
f
(2,1,-5),
f
(-3,5,1),
x(-1,9,-4).
Доказать, что векторы f
,f
,f
можно принять за новый базис в R
.
(ОР 1, Р 7). Найти координаты вектора х в
базисе f
.
6. Доказать, что система
имеет
единственное решение. (25М). Неизвестное
х
найти по формулам Крамера. (999.РЛ). Решить
систему методом Гаусса.
7. Дана система линейных уравнений
Доказать,
то система совместна. Найти её общее
решение. (5П1.Р7). Найти частное решение,
если х
=
1, х
=-2, х
=-1.
8
(40Р). Найти
,
если a
= p
+ r,
=
1,
=
2, (p,ˆ
r)
= 60
9. (3ПП). Найти высоту треугольника АВD, опущенную из точки D, если
А(-2,1,1); В(0,-3,-3); D(-2,-5,-2).
10.Линейный оператор
А действует в R
R
по закону А
=(4х
-2х
+2х
,
-5х
+7х
-5х
,
3х
),
где х (х
,х
,х
)
– произвольный вектор. (367.РП). Найти
матрицу А этого оператора в каноническом
базисе. Доказать, что вектор х
(1,1,0) является собственным
для матрицы А. (299). Найти собственное
число
,
соответствующее вектору х. (887.5П). Найти
другие собственные числа, отличные от
.
Найти все собственные векторы матрицы
А и сделать проверку.
Содержание:
-
Титульный лист.
-
Задание.
-
Содержание.
-
Пример № 1, 2, 3
-
Пример № 4
-
Пример № 5
-
Пример № 6
-
Пример № 7, 8
-
Пример № 9, 10
1(897.РП).
Найти матрицу D
= A
+ 2AC,
если
А
=
,
C
=
.
(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)
Решение:
D
=
+ 2
*
=
=
+
*
=
=
+
=
+
=
=
.
Ответ: (-8 , 1 , 9) .
2(С17).
Вычислить определитель D
=
.
Решение:
D
=
=
= 2 * (-1)
= -2
=
=
-2 * (-1) *(-1)
= 2 * (-20 –30) = -100.
Ответ: -100.
3(CD 8. БП) Решить матричное уравнение
*Х
=
.
Решение:
Пусть
= А,
= В. Найдём
=
=
= 1 * (-1)
= -2.
Так
как
≠0, то Х = А
В.
Найдём А
:
А
=
= -2 А
= -
= -1 А
=
= 0
А
= -
= -4 А
=
= -3 А
= -
= 4
А
=
= -2 А
= -
= -1 А
=
= 2
А
=
.
Проверка:
А * А
= 1
*
=
=
=
= 1 * (-1)
= 1.
Х
= А
В
=
*
=
=
=
.
Проверка:
*
=
=
.
Ответ:
Х =
.
4(ОА7). Найти значение параметра q, при котором ранг матрицы
А
=
минимален.
Решение:
А
=
в матрице три строки, поэтому минимальный
ранг матрицы равен 3.
Найдём значение q:
=
=
=> q
= 5-2 = 3.
Ответ: q = 3.
5.
Относительно канонического базиса в
R
дано четыре вектора f
(1,-3,4),
f
(2,1,-5),
f
(-3,5,1),
x(-1,9,-4).
Доказать, что векторы f
,f
,f
можно принять за новый базис в R
.
(ОР 1, Р 7). Найти координаты вектора х в
базисе f
.
Решение:
Составим матрицу С, записав в её столбцах
координаты векторов f
,f
,f
.
С =
.
Вычислим определитель этой матрицы.
Находим
det
C
=
= 1*(-1)
= 91-52=39.
Так
как det
C
≠o,
то векторы f
,f
,f
линейно независимы, а потому могут быть
приняты в качестве базиса в R
.
Матрица
С невырождена, а потому имеет обратную
С
.
Найдём её
А
=
= 26 А
= -
= 13 А
=
= 13
А
=
-
= 23 А
=
= 13 А
=-
= 4
А
=
= 11 А
=-
= 13 А
=
= 7. Так как det
С = -8, ТО С
=
.
Новые координаты
,
,
вектора х в базисе f
находим по формуле:
= С
.
=
*
=
=
=
.
Ответ:
координаты вектора х в базисе f
=
(1,2,2).
6. Доказать, что система
имеет
единственное решение. (25М). Неизвестное
х
найти по формулам Крамера. (999.РЛ). Решить
систему методом Гаусса.
Решение:
Вычислим определитель системы:
D
=
=
=
2 *(-1)
=-2
=
=
-2*1*(-1)
=-2(-60-(-10))=-2*(-50)=100.
D
0,
поэтому система имеет единственное
решение. Найдём определитель D
.
D
=
=
=
-1*(-1)
=
-1*(-200)=200.
По
формуле Крамера х
=
=
=2.
Решим систему методом Гаусса.
Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками.
.
Данная система эквивалентна системе
решая
уравнения системы находим х
=
-1 ; 12х
=
2-10*(-1), х
=1
; -х
=
-3 - (2,5*1) – (3,5*(-1)), х
=
2 ; 2х
=
10 – (2 *2)- (3
*1)+ (-1), х
=1.
Получается решение: ( 1, 2, 1, -1).
7. Дана система линейных уравнений
Доказать,
то система совместна. Найти её общее
решение. (5П1.Р7). Найти частное решение,
если х
=
1, х
=-2, х
=-1.
Решение:
Применим к этой системе метод Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её, действуя только со строками, к виду, из которого легко увидеть базисный минор.
.
Отсюда
следует, что ранг основной и расширенной
матриц равен 2, следовательно система
совместна. В качестве базисного выберем
минор
0,
т.е. неизвестные х
и х
приняты в качестве зависимых, а х
,х
,х
– в качестве свободных. Данная система
эквивалентна системе
Выражаем зависимые переменные через свободные:
=
_
общее решение системы. Так как х
=1,
х
=-2,
х
=-1,
находим
х
=
0,2 + 0,8 *(-2) + 1,6 *(-1) = 0,2 - 1,6 - 1,6 = -3,
х
= 0,5 -1,5 - 1 + 2 + 1 = 1.
Получили решение: (1, -3, 1, -2,-1).
Ответ: (1, -3, 1, -2, -1).
8
(40Р). Найти
,
если a
= p
+ r,
=
1,
=
2, (p,ˆ
r)
= 60
.
Решение:
=
(a, a) = ( p + r) = ( p, p) + 2 (p, r) + (r, r) = 1*1 + 2*(1*2*
)
+ 2*2 = = 1 +2 +4 = 7.
Ответ:
=
7.
9. (3ПП). Найти высоту треугольника АВD, опущенную из точки D, если
А(-2,1,1); В(0,-3,-3); D(-2,-5,-2).
Решение:
S
∆ ABD
=
,
AB=
AD=
=
=
-2i + j - 2k,
=
=
=3,
S=3.
Поскольку
S
=
*
*
=
* h
*
,
то h
=
;
АВ
=
,
=
=
= 6; h
=
=
= 1.
Ответ: h=1.
10.Линейный оператор
А действует в R
R
по закону А
=(4х
-2х
+2х
,
-5х
+7х
-5х
,
3х
),
где х (х
,х
,х
)
– произвольный вектор. (367.РП). Найти
матрицуй А этого оператора в каноническом
базисе. Доказать, что вектор х
(1,1,0) является собственным
для матрицы А. (299). Найти собственное
число
,
соответствующее вектору х. (887.5П). Найти
другие собственные числа, отличные от
.
Найти все собственные векторы матрицы
А и сделать проверку.
Решение: Так как А (1,0,0)=(4,-5,0); А (0,1,0)=(-2,7,0); А(0,0,1)=(2,-5,3), то записав в столбцы координаты полученных векторов, найдём матрицу А:
А =
.