Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра высшей математики

Контрольная работа №1

Линейная алгебра

2000

2.1 Найти матрицу D=C*(3A-4B), если A=, B=, C=.

В ответ ввести вторую строку матрицы D.

3A-4B=-=

D=*= =

= ОТВЕТ:

2. Вычислить определитель D=

D===1*(-1)¹⁺⁴*=-(0*3*3-1*1*4+1*2*(-1)+1*3*4-1*2*3+0*1*(-1))=

=-(0-4-2+12-6-0)=0 ОТВЕТ: D=0

2. Решить матричное уравнение X =.

Пусть А=, В=. Тогда Х*А=В Так как detA==-7, то матрица А невырождена, поэтому

Х*А*А^-1=В*А^-1, отсюда Х=В*А^-1

А^-1= Х=*=

Проверка: *== ОТВЕТ: Х=

2. Доказать что третья строка матрицы A= является линейной комбинацией первых двух. Найти коэффициенты этой линейной комбинации.

Ранг матрицы А не меньше 2 т.к. минор Ранг матрицы равен 2 если detA=0

detA== ==0 Следовательно ранг матрицы А равен двум и минор яв-ся базисным, первые две строки яв-ся базисными и по теореме о базисном миноре третья строка яв-ся линейной комбинацией первых двух.

Обозначим через и коэффициенты линейной комбинации, тогда

(1, 2, -1)+ (2, 4, 5)=(8, 16, 13). Получаем систему:

+2=8

2+4=16

-1+5=13

ОТВЕТ: =2, =3.

2. Относительно канонического базиса в R₃ дано четыре вектора f₁(9,3,5), f₂(2,0,3), f₃(0,1,-1), x(-14,-7,-3). Доказать, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора х в новом базисе.

Составим матрицу А, записав в ее строках координаты векторов f_1, f_2, f₃

A= и вычислим определитель:

det A===-1*(-1)³⁺³=-11

Так как det A0, то вектора f_1, f_{2 и} f₃ линейно-независимые и поэтому могут быть принятыми в качестве базиса в R₃. Матрица А невырожденна, поэтому имеет обратную А^-1. Находим ее.

Следовательно А^-1=

Проверяем:А*А^-1=*=

По формуле находим новые координаты вектора Х : i₁, i₂, i₃=*(-14,-7,-3)= (-2, 2, -1)

ОТВЕТ: координаты вектора х в новом базисе (-2, 2, -1)

2. Доказать, что система имеет единственное решение. Неизвестное х₃ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Вычислим определитель системы: D===1*(-1)¹⁺⁴*= -80, поэтому система имеет единственное решение. Заменим столбец х₃ столбцом свободных членов и найдем det x_3.

det x₃= ==1*(-1)⁵*=-80

По формуле Крамера х₃===10

Решим данную систему методом Гаусса: записываем расширенную матрицу и преобразуем ее к треугольному виду, действуя только по строкам

===

Последней матрице соответствует система:



ОТВЕТ: (5, 1, -1, -1)

2.7 Дана система линейных уравнений

Доказать что система совместна. Найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₄=x₅=1.

Записываем расширеную матрицу и преобразуем ее к треугольному виду

=== Т.к. ранг расширенной матрицы равен рангу основной то, согласно теореме 1, соблюдается условие совместности.

Общее решение: Подставив х₄=х₅=1 получаем:

Частное решение:

2.8

Найти , если а=6р+r, =2, =3, (pr)=135⁰

=

2.9

Вычислить длину высоты AH пирамиды ABCD, если A(-3,3,3); B(3,0,0); C(3,1,-1); D(1,-2,1)

Сначала вычисляем V пирамиды по формуле:

CB=(0,-1,1), CA=(-6,2,4), CD=(-2,-3,2)

Так как требуется найти высоту АН, то, согласно формуле h= величиной S яв-ся площадь грани CBD

ОТВЕТ: высота AH пирамиды ABCD равна 4,5

2.10

Линейный оператор А действует в R₃ R₃ по закону A_x=(4x₁-2x₂+2x₃, 2x₂+2x₃, x₂+x₃), где x(x₁, x₂, x₃)- произвольный вектор из R₃. Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор x(2,2,1) яв-ся собственным для матрицы А. Найти собственное число ₀, соостветсвующее вектору х. Найти другие собственные числа, отличающиеся от _0. Найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Т.к. A(1,0,0)=(4,0,0), A(0,1,0)=(-2,2,1), А(0,0,1)=(2,2,1) то, записав в столбцы координаты полученных векторов, найдем матрицу А:

Проверим, яв-ся ли вектор х(2,2,1) собственным матрицы А

Так как А_х=3х, то отсюда следует что вектор х яв-ся собственным матрицы А и отвечает собственному числу =3.

Чтобы найти другие собственные числа надо составить уравнение:

Чтобы получить другие собственные числа, разделим полученный многочлен на (-3) и получим

отсюда ₁=0, ₂=4

Находим собственные векторы:

=0 - общее решение системы. Пусть х₁=1, тогда собственный вектор

х₁=(1,-1,1) Проверка:

=4