Высшая математика.

Контрольная работа № 1.

ВАРИАНТ №: 1

1. Найти матрицу D = (3A – 4B) C, если

А =

Решение.

Используя правила умножения матрицы на число и сложения

матриц, находим

3А-4В=

(3А-4В) С =

=

2. Вычислить определитель D =

Решение.

D =

D =1 *(-1)

D = -

3. Решить матричное уравнение

Решение.

Матричное уравнение вида А *Х = В, где А =

Находим

det A =

Матрица А невырожденная. Значит Х=А Для нахождения Анаходим

элементы присоединенной матрицы.

А, А

А

А

Тогда Х =

=

4.Найти такие значения параметров p и q, если они

существуют, при которых ранг матрицы

А=равен двум.

Получим ниже главной диагонали матрицы нули с помощью 1строки, умножая

её на -1 и затем на -2.

А =

Если p + 8 = 6, т.е. p = -2, a q = - 7 то в матрице будет три одинаковых строки,

две из которых можно вычеркнуть, не меняя ранга матрицы. Получим матрицу

ранг которой, а значит и данной равен 2.

При p = - 2, q = - 7 ранг матрицы равен 2.

5. Относительно канонического базиса в R дано четыре вектора Доказать что

векторы можно принять за новый базис в

R. Найти координаты вектора в базисе .

Решение.

Пусть координаты вектора х в новом базисе

С =

Найдем определитель этой матрицы

det C =

Матрица С невырожденная. Находим элементы присоединенной матрицы С.

Записываем обратную матрицу С

С

Тогда

Х =

Ответ : х(2;1;-3)

6.Доказать, что система

имеет единственное решение . Неизвестное найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Записываем матрицу А системы:

Находим её определитель.

Матрица А невырождена . Ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен 4.

Значит система совместна. Выясним является ли она определённой т.е . имеет единственное

решение. Так как А единственная , то система определённая.

Найдем по формулам Крамера.

Найдем D.

Решим систему методом Гаусса. Записываем расширенную матрицу системы.

Действуя только со строками, приводим её к виду, чтобы ниже главной диагонали

стояли нули.

Последней матрице соответсвует система

Из последнего уравнения находим Зная из третьего уравнения находим и т.д.

ответ: (1; -1; -1; 1).

7. Дана система линейных уравнений

Доказать что система совместна. Найти её общее решение. Найти частное решение,

Если

Решение.

Записываем расширенную матрицу системы и, действуя только со строками, приводим

её к виду , удобному для исследования.

В этой матрице две одинаковых строки одну из которых можно вычеркуть, не меняя

ранга матрицы.

Ранг основной и расширенной матрицы равен 3. Значит система совместна.

Последней матрице соответсвует система:

Перенесем члены , содержащие свободные неизвестные в правую часть:

Выражаем зависимые переменные через свободные, получаем:

- это общее решение.

Если х

(-2; 3; 4; -8; -4) - частное решение.

8. Вычислить если a= 3p+r, b =p – 3r, = 7, = (= 45

Решение.

Величина равна площади параллелограмма построенного на векторах

10

Ответ: 70.

9. Вычислить объём пирамиды, заданной координатами своих

вершин:

Решение.

Объём пирамиды, построенной на векторах вычисляется по формуле

Найдем векторы АВ,АС,АД совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А.

АВ(6;-3;-3), АС(6;-2;-4), АД(4;-5;-2). Находим смешанное произведение этих векторов

(АВ,АС,АД)=

Тогда V=

10.Линейный оператор А действует в по закону

Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе.

Доказать, что вектор х(1,1,1) является собственным для матрицы А.

Найти собственное число , соответствующее вектору х.

Найти другие собственные числа, отличные от . Найти все

собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение.

Находим Ае Матрица А этого оператора в

каноническом базисе имеет вид

А=

Докажем что вектор Х (1,1,1) собственный для матрицы А. Должно выполнятся условие

собственное число.

АХ=

Значит

Найдем другие собственные числа отличные от Составим характеристическое

уравнение

Вычисляя этот определитель, получим (4-)*

Тоесть

Запишем систему для определения собственного вектора отвечающего собственному числу

Так как эта система однородна, то одно из её решений х(0;0;0).

Т.к. m=n=3, и det A =0, то есть и нетривиальные решения.

det A =

Последней матрице соответсвует система

Третье уравнение равно второму, умноженному на 2.Его вычеркнем.

Пусть х- свободное неизвестное.

Тогда

х

Вектор собственный, отвечающий собственному числу

Проверим АХ=Х