Министерство образования РФ.

Томский Государственный Университет

Систем управления и радиоэлектроники

(ТУСУР)

Контрольная работа № 1

по высшей математике

Вариант№3

Задание№1.

Найти , если (В ответ ввести вторую строку матрицы D)

Решение:

Преобразуем выражение для матрицы D, вынося A за скобки.

Находим

Ответ: (13 -4 -15 9) – вторая строка матрицы D.

Задание№2.

Вычислить определитель

Решение:

Перепишем определитель в виде

Первую строку умножаем поочередно на 2,6,3 и вычитаем соответственно из второй, третьей и четвертой строк, получим:

Полученный элемент разложим по элементам первого столбца:

В определителе третьего порядка выбираем строку, содержащую нули.

Задание№3.

Решить матричное уравнение:

Решение:

Находим определитель матрицы

Так как матрица A не вырождена, то .

Для нахождения обратной матрицы находим присоедененную матрицу A^*. Алгебраические дополнения матрицы A^*:

Элементы матрицы А

A₁₁=a₁₁; A₁₂=a₂₁; A₁₃=a₃₁

A₂₁=a₁₂; A₂₂=a₂₂; A₂₃=a₃₂

A₃₁=a₁₃; A₃₂=a₂₃; A₃₃=a₃₃

Получим

Обратная матрица :

Решение матричного уравнения:

Ответ: Решение матричного уравнения

Задание№4

Найти то значение параметра P, если оно существует, при котором строки матрицы

линейно зависимы.

Решение:

Получаем нули ниже главной диагонали матрицы, умножая первую строку на числа 2,1,5 и вычетая ее из второй, третьей и четвертой строк соответственно

Ранг матрицы rangA=3 если p+20-28=0, то есть p=8

Задание№5

Относительно канонического базиса R₃ дано четыре вектора f₁(3, 2,-4),

f₂ (4, 1,-2), f₃(5 ,2,-3), x(9, 5, -8). Доказать, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. Найти координаты вектора x в базисе f_i.

Решение:

1. Векторы f₁, f₂ и f₃ образуют базис, если они линейно независимы. Составляем матрицу из координат векторов и находим ее ранг.

Преобразуем матрицу , rangC=3, так как ранг матрицы равен числу строк, то векторы линейно независимы, следовательно, образуют базис.

2. Алгебраические дополнения матрицы С :

Находим определение матрицы С:

=

=3(-3+4)-2(-12+10)-4(8-5)=3+6-12=-3≠0

Составляем матрицу, обратную матрице С:

Координаты вектора в базисе .

Ответ: 1. Векторы образуют базис.

2.

Задание№6

Доказать, что система имеет единственное решение. Неизвестное х₄ найти по формулам Крамера. Решить систему методом Гаусса.

Решение:

1.

Составляем основную A и расширенную С матрицы системы; находим их ранги:

rangA = 4

rangC =4

r(A)=r(C); следовательно, система совместима.

Так как , где n-число уравнений, то система имеет единственное решение.

2. Находим определитель D₄, заменив 4-й столбец основной матрицы столбцом свободных членов:

Определитель основной матрицы:

По формуле Крамара находим значение x₄:

3. Записываем расширенную матрицу:

Действуя только со строками, приводим ее к виду, чтобы ниже (или выше) главной диагонали стояли нули:

Последней матрице соответствует система:

Совершая обратный ход, находим:

Ответ: (2;1;0;1) – решение системы.

Задание№7

Дана система линейных уравнений

Доказать, что система совместна. Найти ее общее решение. Найти частное решение, если x₂= x₃=1

Решение:

Находим ранги основной и расширенной матриц:

r_A=1

r_c=1

Так как r_A= r_c , то система совместна.

Записываем расширенную матрицу, преобразуя ее, находим общее решение системы:

В качестве базисных возьмем x₁, а x₂, x₃, x₄ – свободные.

- общее решение.

При

Частное решение: (0, 1, 1, 0)

Задание№8

Найти , если =60°

Решение:

41²-412cos60°+2²=4-4+4=4

Ответ:

Задание№9.

Даны точки A(-2, 4, 4); B(4, 1, 1); C(4, 2, 0); D(2, -1, 2). Найти объем пирамиды, построенной на векторах AB, 2BC, CD.

Решение:

Находим = (4+2; 1-4; 1-4) = (6; -3; -3)

= 2(4_4; 2-1; 0-1) = (0; 2 -2)

= (2-4;-1-2; 2-0) = (-2; -3; 2)

Задание№10.

Линейный оператор А действует в R₃R₃ по закону, где x(x₁,x₂,x₃) – произвольный вектор. Найти матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Доказать, что вектор

x(1,0,0) является собственным для матрицы А. Найти собственное число , соответствующее вектору x. Найти другие собственные числа, отличные от . Найти все собственные векторы матрицы А и сделать проверку.

Решение:

Канонический базис: =(1, 0, 0); =(0, 1, 0); =(0, 0, 1)

Находим: (4, 0, 0), (5, -2, 3), (-7, 4, 2)

Следовательно, - матрица оператора в каноническом базисе.

, следовательно вектор собственный и отвечает собственному числу .

Составляем характеристическое уравнение:

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу

Переменная x₁ не вошла при ни в одно уравнение. Полученные решения имеют смысл только при x₃ =0. Следовательно, собственный вектор при (0, 0, 0)

Записываем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу

, так как уравнения (2) и (3) одинаковы.

Положим x₃ свободной переменной, а x₁ и x₂ – базисными:

= (3, -2, 1) – собственный вектор, отвечающий собственному числу