Контрольная работа 1 / 1-10_Высшая математика_4

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Контрольная работа №1

По дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 1.10

Учебное пособие: Магазинников Л.И., Магазинников А.Л. «Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия» - Томск,2003.

Выполнил:

Студент ТМЦДО

Специальности

200г.

1. Найти сумму диагональных элементов матрицы С=АВ-ВА, если А=, В=.

Решение:

АВ=;

ВА=;

С =;

с₁₁+с₂₂+с₃₃=0;

с₁₃+с₂₂+с₃₁=23.

Ответ: 0; 23.

2.Вычислите определитель D=.

Решение:

D=1-ю строку умножаем на (-1) и к ней прибавляем 2-ю, далее 1-ю строку умножаем на (-3) и к ней прибавляем 3-ю, затем 1-ю строку умножаем на (-2) и к ней прибавляем 4-ю = полученный определитель раскладываем по элементам первого столбца= (-1) ¹⁺¹ * *складываем 1-ю, умноженную на (-1) и 2-ю строки, далее 1-ю строку умножаем на (-1) и складываем с 3-ей =, полученный определитель раскладываем по элементам 1-го столбца = =18.

Ответ:18.

3. Решите матричное уравнение: Х*.

Решение:

Х*А=В Х=В*А^-1

det A=А – невырожденная, существует А^-1.

А^-1=; А=0; А=-1; А=-1; А=1; А=-2; А=-1; А=-3; А=7; А=5;

А^-1=;

Х=;

Проверка: Х*А=В, .

Ответ: .

4. Докажите, что третья строка матрицы является линейной комбинации первых двух. Найдите коэффициент этой линейной комбинации.

Решение:

, т.к. 2 и 3 строки пропорциональны, то вычеркнув 3, ранг матрицы не изменится, т.к. М= то r=2, - базисный минор, det А=0, т.к. 2 и 3 строки пропорциональны.

λ₁,λ₂ – коэффициенты.

(5,-4,2,3)=λ₁(-1,2,4,1)-λ₂(2,-1,3,2)

-λ₁+2λ₂=5 λ₁=-1,

2λ₁-λ₂=-4 λ₂= 2.

4λ₁+3λ₂=2

λ₁+2λ₂=3

Ответ: λ₁=-1, λ₂=2.

5. Относительно канонического базиса R₃ даны четыре вектора: f₁(3.2.1), f₂(2,3,1), f₃(-1,-3,-1), x(2,1,1).Докажите, что векторы f₁, f₂ ,f₃ можно принять за новый базис в R_3.Найдите координаты вектора х в базисе f_i.

Решение:

Составим матрицу С (f₁,f₂,f₃). , det C=-10,матрица невырожденаяимеет С^-1, векторы f _1, f _2, f₃ - линейно независимы,могут принять в качестве базиса R_3.

С=0; С=1; С=-3; С=-1; С=-2; С=7; С=-1; С=-1; С=5;

С^-1=. Проверим правильность обратной матрицы:С*С^-1

Найдем координаты х (x,х,х)

,

Ответ: х(2, -3, -2).

6.Докажите, что система имеет единственное решение. Независимое х₃ найдите по формулам Крамера. Решите систему методом Гаусса.

Решение:

, D=система имеет единственное решение.

D₃=.

По формулам Крамера х₃=, Решим систему методом Гаусса:

,

Ответ: х₁=2,х₂=-1,х ₃=1, х₄=1.

7. Дана система уравнений. Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. Найдите частное решение, если х₃=х₄=1.

Решение:

, применим метод Гаусса. из 4-й вычитаем 3-ю строку, далее из4-й строки, умноженной на (-2) вычитаем 2-ю строку, затем из 4-й строки вычитаем 1-ю, →. Три первые строки пропорциональны, 1-ю и 3-ю можно вычеркнуть не меняя ранга матрицы →система совместна, т.к. ранг основной матрицы и расширенной =2, - базисный минор, х_1, х₂ – зависимые, х_3, х₄ – свободные. Данная система эквивалентна системе, выражаем зависимые переменные через свободные: - общее решение. Полагая, что х₃=х₄=1, то х₁=1, х₂=1, частное решение (1,1,1,1)

Ответ: (1,1,1,1).

8. Дана система линейных однородных уравнений. Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений.

Решение:

исследуем систему методом Гаусса:,

ранг матрицы=3,< числа неизвестных, система имеет нетривиальное решение. - базисный минор, х₁, х₂, х₃ – зависимые, х₄, х₅ – свободные. Данная система эквивалентна системе - общее решение.

Фундаментальная система решений содержит 5-3=2 решений. Придавая поочередно (1,0)(3,1,3,1,0)

(0,1)(-1,0,0,0,1).

Ответ:, (3,1,3,1,0), (-1,0,0,0,1).

9. При каком значении ά вектор p=a+άb перпендикулярен вектору r=5a-4b, если, (a^/\,b)=60˚.

Решение: p перпендикулярен r(p,r)=0.

(p,r)=((a+άb),(5a-4b))=5(a,a)-4(a,b)+5ά(a,b)-4ά(b,b)=5│a²│-4│a│*│b│*cos60°+5ά│a│*│b│*cos60°-4ά│b²│=5*4-4*2*2*+5ά*2*2*-4ά*4=12-6ά,

ά=2.

Ответ: ά=2.

10.Вычислите высоту СН пирамиды ABCD, если А(-2,2,2); В(0,-2,-2); С(0,-1,- 3); D(-2.-4.-1).

Решение:

CH=h; h=; V=; S=

│AB│=(2,-4,-4); │AD│=(0,-6,-3); │AC│=(2,-3,-5);

V=;

S=;

;

h=CH=.

Ответ:1.

11.Линейный оператор А действует в R₃→R₃ по закону Ах=(-х₁,3х₁+2х₂-2х₃,-2х₁+3х₂-3х₃).найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х(0,2,3) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число λ_0, соответствующее вектору х. Найдите другие собственные числа отличные от λ₀.Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку.

Решение:

Так как А (1,0,0)=(-1,3,-2); А(0,1,0)=(0,2,3); А(0,0,1)=(0,-2,-3), то записав в столбцы координаты полученных векторов получим матрицу А:

А=; проверим, что вектор х является собственным:

Ах=т.к. Ах=-1х, товектор х(0,2,3) является собственным матрицы А, , и отвечает собственному числу λ= -1.

Найдем другие собственные числа, составив характеристическое уравнение:

│А-λЕ│=(-1-λ)*((2-λ)*(-3-λ)+6)=(-1+λ)*(λ²-2λ)=-λ³-2λ²-λ; Нам уже известно, что λ₀=-1 – корень этого уравнения, другие собственные числа найдем решая это уравнение:

-λ*(λ²+2λ+1)=0; λ₁=0, λ₂= -1 λ, λ₁, λ₂-собственные числа.

Найдем векторы, отвечающие этим собственным числам:

1). λ= -1. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений

, вычтем из второго третье, получим - общее решение системы. Положив, х₂=2, тогда собственный вектор х=(0, 2, 3) .

Проверка:

Вектор х=(0, 2, 3) является собственным и отвечает собственному числу λ= -1. Также собственными векторами, отвечающими собственному числу λ= -1, будут (0, 2, 3)*t, где t0.

2). λ=0. Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:

общее решение системы. Положив, например х₂=1, получим, собственный вектор х¹=(0, 1, 1).

Вектор х=(0, 1, 1) является собственным и отвечает собственному числу λ= 0. Также собственными векторами, отвечающими собственному числу λ= 0, будут (0, 1, 1)*t, где t0.

Ответ:-1, 0.