Контрольная работа 1 / 1- 8_Высшая математика_4
.doc
-
Найдите матрицу D=A+2CA, если
А =
,
С =
.
Решение.
СА =
=
=
;
D
= A
+ 2CA
=
+ 2*
=
=
=
.
Ответ:
-
Вычислите определитель
D =
.
Решение.
По свойствам определителей получим в первом столбце матрицы три нулевых элемента, для чего ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на три, к третьей строке прибавим первую, умноженную на (-3), к четвертой – умноженную на (-5), получим:
D
=
,
разлагая этот определитель по элементам первого столбца получим
D
= 1 * (-1)1+1
*
,
упрощаем аналогично, получаем
D
=
= -2 * (-1)1+1
*
= -2 * (-8) = 16.
Ответ: D = 16.
-
Решите матричное уравнение
* Х = 2 *
.
Решение.
Пусть А =
,
В = 2 *
,
тогда АХ = В.
det A =
=
= -1 * (-1)1+1
*
= 2.
-
=
(-1)1+1
=
-17
=
(-1)2+1
=
21
=
(-1)3+1
=
-12
=
(-1)1+2
=
8
=
(-1)2+2
=
-10
=
(-1)3+2
=
6
=
(-1)1+3
=
-5
=
(-1)2+3
=
7
=
(-1)3+3
=
-4
Находим обратную
матрицу А-1
по формуле
=
:
А-1
=
;
Х = А-1
* В =
* 2 *
=
=
*
=
.
Проверка.
АХ
=
*
=
= 2 *
= В.
Ответ: Х =
.
-
При каком значении параметра р, если оно существует, строки матрицы А =
линейно зависимы?
Решение.
Преобразуем матрицу. Т.к. Столбец 2 пропорционален столбцу 1, можно его вычеркнуть. Столбец 3 переносим в конец:
А2
=
.
Из 4-ой строки вычитаем 2-ую, умноженную на два; из третьей вычитаем вторую и добавляем к ней первую; из второй вычитаем первую, умноженную на два. Получаем матрицу:
А3
=
Строки матрицы
могут быть линейно зависимы в том случае,
если ранг матрицы меньше числа строк.
Ранг будет меньше четырех
в том случае, когда третья
и четвертая
строки пропорциональны, т.е. если
.
Получаем p=6.
Ответ: при p = 6 строки матрицы А линейно зависимы.
-
Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1(5, 3, 5), f2(2, 0, 3), f3(0, 1, -1), x(-14, -7, -13). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис в R3. Найдите координаты вектора x в базисе fi.
Решение.
Составим матрицу, записав в ее столбцах координаты векторов f:
А =
.
Находим определитель: det
A
= 1
Определитель матрицы не равен нулю, следовательно, векторы f1, f2, f3 линейно независимы, следовательно, они могут быть приняты в качестве базиса в R3.
Обратная матрица
А-1
=
.
Находим координаты вектора х:
=
*
=
.
Ответ: координаты вектора х в базисе fi: х(2, -12, -13).
-
Докажите, что система
имеет единственное
решение. Неизвестное x4
найдите по формулам Крамера. Решите
систему методом Гаусса.
Решение.
А =
=
=
= 16;
А ≠ 0, поэтому система имеет единственное решение.
Находим определитель А4:
А4
=
=
=
= -32;
По
формуле Крамера х4
=
.
Методом Гаусса решаем эту систему. Для
этого записываем расширенную матрицу
системы и преобразуем её к треугольному
виду, действуя только со строками:
→
→
→
→
→
.
Данная система эквивалентна системе
,
отсюда
х4 = -8 / 4 = -2,
х3 = -9 – 5х4 = -9 + 10 = 1,
х2 = (7 – х3 + 5х4) / (-2) = (7 – 1 – 10) / (-2) = 2,
х1 = 4 + х2 – х3 + 2х4 = 4 + 2 – 1 – 4 = 1.
Ответ: (1, 2, 1, -2).
-
Дана система линейных уравнений
.
Докажите, что система совместна. Найдите ее общее решение. Найдите частное решение, если x4 = x5 =1.
Решение.
Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками:
→
→
→
→
.
Ранг обеих матриц равен 3, следовательно, система совместна.
В качестве базисного
выберем минор
≠ 0,
т.е. неизвестные х1, х2 и х3 приняты в качестве зависимых, а х4 и х5 - в качестве свободных. Данная система эквивалентна системе
.
Выражаем зависимые переменные через свободные:
,
-
общее решение системы.
Если х4 = х5 = 1, то х1 = -1, х2 = -1, х3 = 1.
Ответ: х1 = -1, х2 = -1, х3 = 1 - частное решение системы.
-
Дана система линейных однородных уравнений
.
Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую–нибудь фундаментальную систему решений.
Решение.
Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого записываем расширенную матрицу системы и преобразуем её к треугольному виду, действуя только со строками:
→
→
→
→
.
Последние две строки пропорциональны, поэтому последнюю строку можно вычеркнуть не меняя ранга матрицы. Ранг этой матрицы равен трём, следовательно, он меньше числа неизвестных, следовательно, система имеет нетривиальное решение.
В качестве базисного
принимаем минор
,
тогда х2, х3, х4– зависимые неизвестные, х1 – свободные. Данная система эквивалентна системе
Выражая зависимые переменные через свободные, находим общее решение:
.
Фундаментальная система решений содержит 4 – 3 = 1 решение. Получаем одно частное линейно независимое решение, придавая свободному неизвестному значение х1 = 1.
(1, 1, 1, 0).
Полученное частное решение составляет фундаментальную систему решений.
-
Вычислите
,
если a
= 3p
– 4r,
b
= p
+ 3r,
=
,
= 3, (pˆ,r)
= 45˚.
Решение.
.
Ответ:
.
-
Вычислите высоту пирамиды, опущенную на ABD, если пирамида построена на векторах AB + AC, AB, AD, и A(-1, 2, 1); B(1, -2, -3); C(1, -1, -4); D(-1, -4, -2).
Решение.
Высоту пирамиды
найдем по формуле
,
где S
– площадь основания, а V
– объем пирамиды.
,
т.к.
;
;
;
,
то
.
,
:
,
,
.
.
Ответ: Высота
.
-
Линейный оператор A действует в R3 → R3 по закону Ax = (4x1, 2x1 + 2x3, -x1 + x2 +x3), где x(x1, x2, x3) – произвольный вектор. Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор x(0, 2, -1) является собственным для матрицы А. Найдите собственное число
,
соответствующее вектору x.
Найдите другие собственные числа,
отличные от
.
Найдите все собственные векторы матрицы
А
и сделайте проверку.
Решение.
Т.к. А(1, 0, 0) = (4, 2, -1); A(0, 1, 0) = (0, 0, 1); A(0, 0, 1) = (0, 2, 1), то запишем в столбцы матрицы полученные векторы. Найдем матрицу А:
А =
.
Проверим, что вектор х(0, 2, -1) является собственным для матрицы А:
Ах
=
.
Так как Ах = -х, то вектор х(0, 2, -1) является собственным для матрицы А и отвечает собственному числу λ = -1. Для того чтобы найти остальные собственные числа, составим характеристическое уравнение:
Нам уже известно,
что λ0
= -1 - корень данного уравнения, поэтому
разделим многочлен
на (λ+1), получим
.
Другие собственные числа получим решив
уравнение
,
,
,
λ1 = 2,
λ2 = 4.
Собственные числа: 2; 4; -1. Найдем собственные векторы, отвечающие этим собственным числам:
Число λ = 2:
Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
Определитель
системы совпадает с определителем
.
Ранг матрицы равен двум. Поэтому
фундаментальная система решений состоит
из одного решения. Получаем:
-
общее решение системы.
Положив, например х3 = 1, найдем собственный вектор х = (0; 1; 1)
Проверка:
Число λ = 4:
Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
Определитель
системы совпадает с определителем
.
Ранг матрицы равен двум.
Поэтому фундаментальная система решений
состоит из одного решения. Получаем:
-
общее решение системы.
Положив, например х3 = 1, найдем собственный вектор х = ( -5; -2; 1)
Проверка:
.
Число λ = -1:
Собственные векторы, отвечающие этому собственному числу, образуют фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений:
Определитель
системы совпадает с определителем
.
Ранг матрицы равен двум.
Поэтому фундаментальная система решений
состоит из одного решения. Получаем:
-
общее
решение системы.
Положив, например х3 = 1, найдем собственный вектор х = (0; -2; 1)
Проверка:
.