Линейные дифференциальные уравнения -ого порядка.
Определение 10.1: Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
(10.1)
Здесь
функции
)
и
заданы
и непрерывны в некотором
промежутке
.
Уравнение
(1) называется линейным неоднородным,
или
уравнением с
правой
частью. Если
же
,
то уравнение называется линейным
однородным.
Однородное
уравнение с той же левой частью, что и
данное неоднородное,
называется соответствующим
ему.
Рассмотрим линейные однородные уравнения.: общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям.
Теорема: (Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения)
Если
—
линейно
независимые частные решения уравнения
то
есть
общее решение этого уравнения
(
—произвольные
постоянные).
Примечание. Функции называются линейно независимыми в промежутке если они не связаны никаким тождеством
где
какие-нибудь постоянные, не равные нулю
одновременно.
Для
случая двух функций это условие можно
сформулировать и так: две функции
и
линейно
независимы, если их отношение не является
постоянной величиной :
const.
Например:
1)
—линейно
независимы;
2)
—линейно
независимы;
3)
—
линейно зависимы.
Совокупность решений линейного однородного уравнения -го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке , называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
фундаментальная
система состоит из двух линейно
независимых решений
и
его
общее решение находится по формуле
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Определение 11.1:Линейным однородным уравнением п-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
(11.1)
где
коэффициенты
—некоторые
действительные числа. Для нахождения
частных решений уравнения (11.1) составляют
характеристическое
уравнение
(11.2)
которое получается из уравнения (11.1) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Уравнение (11.2) является уравнением п-й степени и имеет п корней (действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).
Тогда общее решение дифференциального уравнения (11.1) строится в зависимости от характера корней уравнения (11.2):
1)
каждому действительному простому корню
k
в
общем решении соответствует слагаемое
вида
;
2)
каждому действительному корню кратности
т.
в
общем решении соответствует слагаемое
вида
;
3)
каждой паре комплексных сопряженных
простых корней
и
в общем решении соответствует слагаемое
вида
4)каждой паре комплексных сопряженных и корней кратности т в общем решении соответствует слагаемое вида
Примеры:
Пример 11.1: Найти общее решение уравнения
Составим
характеристическое уравнение
;
его корни
.
Следовательно,
и
—
частные линейно независимые решения,
а общее решение имеет вид
Пример 11.2:
Найти общее решение уравнения
Характеристическое
уравнение имеет вид
;
его корням
соответствуют линейно независимые
частные решения
.
Следовательно,
общее решение
Пример 11.3:
Найти
решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
при
.
Характеристическое
уравнение
имеет
корни k1=2,
k2=-1.
Следовательно, общее решение
.Подставляя
начальные условия в общее решение и его
производную, получим систему уравнений
относительно
С1
и С2:
откуда
.
Значит, решение, удовлетворяющее
поставленным начальным условиям, имеет
вид
.
Пример 11.4:.
Найти общее решение уравнения
Характеристическое
уравнение
имеет
корни
.
Здесь
является двукратным корнем, а поэтому
линейно независимыми частными решениями
служат 1,
,
.
Общее
решение имеет вид
.
Пример 11.5:.
Найти
общее решение уравнения
Характеристическое
уравнение
имеет
корни k=2
3i.
Корни
характеристического уравнения комплексные
сопряженные, а потому им соответствуют
частные решения е2xcosЗх
и
е2xsinЗх
Следовательно,
общее решение есть
Задачи для самостоятельного решения.
Найти общее (частное) решение уравнения
11.1.
.
11.2.
.
11.3.
;
11.4.
Ответы:
11.1.
11.2.
.
11.3.
;
11.4.
.