2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.

Определение 2.1.Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и её производную , то есть уравнение вида . (2.1)

Определение 2.2.Решением дифференциального уравнения (2.1) называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Примеры: a) Проверим, является ли функция решением дифференциального уравнения ?

и подставим в уравнение .

, т.е. функция - является решением уравнения.

b) Докажем, что функция , где С=const, является решением уравнения .

Действительно, подставим в уравнение и ,

т.е. функция является решением уравнения.

Это уравнение имеет множество решений, т.к. С может принимать любые значения.

Рассмотрим дифференциальные уравнения первого порядка , которые можно разрешить относительно , то есть

(2.2)

или (2.3)

Уравнение (2.3) приведем к виду (2.2): Пусть , тогда

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка вида (2.2) и (2.3):

a) , ;

b) , ;

c) , ;

d) , .

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка. ).

Если функция и её частная производная определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x и y, то данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее условию , для всех точек , (2.4).

Условия (2.4) (или при ) называют начальными условиями.

Уравнение (2.2) вместе с начальными условиями (2.4) называют Задачей Коши.

Точки плоскости, в которых не выполняются условия теоремы Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках и терпят разрыв.

Определение 2.3. Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области D называется функция , которая:

1. является решением уравнения при любом С=const ;

2. при любых начальных условиях ,где существует единственное значение С=С , удовлетворяющее начальным условиям .

Определение2.4.Частным решением уравнения в области D называется функция , которая получается из общего решения при С=С .

Общее решение может быть получено в неявном виде , тогда оно называется общим интегралом.

Геометрический смысл основных понятий.

Дифференциальное уравнение геометрически представляет собой поле направлений касательных к интегральным кривым.

Общее решение – уравнение семейства интегральных кривых , где параметр С=const . )

Частное решение – уравнение интегральной кривой семейства, проходящей через точку .

Особые точки-точки плоскости, через которые либо проходит несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.