2.2.5. Пример расчёта допусков и посадок. Расчёт и выбор посадки с натягом

Методика расчёта посадок с натягом, зазором и переходных подробно изложена в справочниках [5, 6, 7]. В данном учебном пособии, в качестве примера, изложена методика расчёта посадки с натягом.

Посадки с натягом предназначены для получения неподвижных разъемных соединений без дополнительного крепления деталей. Относительно неподвижность деталей обеспечивается силами сцепления (трения), возникающими на контактирующих поверхностях вследствие деформации, создаваемой натягом при сборке соединения. Благодаря надежности простоте изготовления деталей эти посадки широко применяют как в машиностроении, так и при ремонте техники (например, при сборке венцов со ступицами зубчатых и червячных колес, втулок с валами, втулок подшипников скольжения с корпусами и пр.).

В соединении двух деталей крутящий момент М_kp, осевая Р_oc и радиальная сила Р_r передаются с полого вала, имеющего внутренний диаметр d₁ и наружный диаметр d_н, на ступицу с диаметром d₂. Материал вала, ступицы, длина соединения и другие исходные данные представлены в таблице 2. Схема соединения на рис. 13.

Рис. 13. Расчётная схема соединения с натягом

Таблица 2

Исходные данные

Параметр	Обозначение	Значение
Номинальный диаметр соединения Длина соединения Внутренний диаметр вала Наружный диаметр втулки Радиальная сила Осевая сила Крутящий момент Материал изготовления вала Материал изготовления отверстия Рабочий диапазон температуры деталей Система изготовления Вид сборки	dн l d1 d2 Pr Poc Mкр Сталь 45 БрА9Ж4 tD = td Система отверстия	45 мм 50 мм 20 мм 80 мм 1200 Н 1500 Н 185 Н∙м - - От –30 до +100 °С –
	Запрессовка с небольшим количеством смазки

Решение

Определение наименьших контактных давлений

Наименьшее давление p_min(oc) на контактируемых поверхностях, необходимое для передачи крутящего момента и осевой силы без проворачивания или сдвига, определяем по формуле

p_min(oc)= ; (12)

где f – коэффициент трения (табл. 3);

p_min(oc)= =11,8∙10⁶ Па.

Определяем наименьшее контактное давление, необходимое для предотвращения стыка соединения из-за действия радиальной силы:

p_min(r)= ; (13)

p_min(r)=12000/(0,045·0,05)=5,3·10⁶ Па.

Из двух полученных давлений выбираем бóльшее.

Таблица 3

Значение коэффициента трения в начальный момент сдвига

Материал взаимодействующих деталей	Коэффициент трения f*
Сталь по стали Сталь по чугуну Сталь по латуни Сталь по бронзе	0,08–0,17 0,07–0,12 0,04–0,08 0,06–0,13

*Меньшие значения берут при прессовании со смазкой. При соединении путем температурных деформаций значение увеличивают в 2 раза.

Определение наименьшего расчетного натяга

Наименьший расчетный натяг определяем по формуле

N_Pmin=p_min·d_n , (14)

где C_d и C_D – коэффициенты Ламе материала вала и втулки; Е_d и Е_D – модули упругости материала вала и втулки (табл. 4), Па;

С_d = ; (15)

С_D = ; (16)

где μ_d и μ_D – коэффициенты Пуассона материала вала и втулки (табл. 4);

d₁ – внутренний диаметр вала, м;

d₂ – наружный диаметр втулки, м.

Таблица 4

Значение модулей упругости и коэффициентов Пуассона

Материал	Сталь	Чугун	Бронза	Латунь
Ed; ED,  Па	(1,95–2,05)1011	(1,13–1,16)1011	1,031011	(0,82–0,97)1011
μd; D	0,24–0,30	0,23–0,27	0,25	0,32–0,42

В соответствии с табл. 4 принимаем: для стали 45Е_d=210¹¹ Па, μ_d=0,28; для бронзы Е_D=1,0310¹¹ Па, μ_D=0,25. Подставив в формулы 14, 15 и 16 имеем:

;

;

мкм.

Определение наибольшего контактного давления

По теории удельной потенциальной энергии формоизменения определяем наибольшие допустимые давления, при которых материалы вала и отверстия работают в зоне упругих деформаций:

p_{d max} = ; (17)

p_{D max} = , (18)

где и пределы текучести материалов соответственно вала и отверстия, Па (табл. 5).

Таблица 5

Пределы текучести некоторых материалов, МПа

Материал	Предел прочности, ,МПа	Материал	Предел прочности, ,МПа
Сталь 25	274	Латунь ЛМцОс 58-2-2	343
Сталь 30	294	Бронза БрА9Ж4	200
Сталь 35	314	Бронза БрА11Ж6Н6	302
Сталь 40	333	Чугун СЧ28	274
Сталь 45	353	Чугун СЧ20	206

В результате получим:

p_dmax = 0,58·353·10⁶· (1 – (0,020/0,045)²) = 164,3·10⁶ Па;

p_Dmax = 0,58·200·10⁶· (1 – (0,045/0,080)²) = 79,3·10⁶ Па.

Из двух полученных значений выбираем меньшее и проводим корректировку с учетом давления от радиальной силы:

p_max=p_Dmax – p_min(r) ; (19)

p_mах = 79,3·10⁶– 5,3·10⁶ = 74,0 Па.

Определение наибольшего расчетного натяга

Наибольший расчетный натяг определяем по формуле

; (20)

мкм.

Определение предельных технологических натягов

Определяем предельные технологические предельные натяги:

; (21)

, (22)

где ΔN_R – поправка на смятие шероховатости поверхности вала и втулки при сборке;

ΔN_t – поправка на температурное расширение деталей;

ΔN_П – поправка на уменьшение натяга при повторных запрессовках в процессе эксплуатации и ремонта (по опытным данным ΔN_П =5–10 мкм);

х – коэффициент, учитывающий увеличение удельного давления у торцов втулки, определяем по графику (рис. 14).

Рис. 14. Зависимость коэффициента х от соотношения длины соединения к диаметру

Поправку на смятие шероховатости определяем по формуле

ΔN_R ≤ 10∙η∙TN∙K_ф∙К_К, (23)

где η – коэффициент смятия шероховатости поверхностей (табл. 6);

К_к – коэффициент, зависит от квалитета точности;

3–7 квалитет К_к=0,09;

8–9 квалитет К_к=0,07;

10 квалитет и грубее К_к=0,06.

К_ф – коэффициент, зависящий от допуска формы К_ф≈0,5

Таблица 6

Значения коэффициентов смятия шероховатости поверхности

Коэффициент смятия шероховатости поверхности	Метод сборки соединения
	Запрессовка		С нагревом втулки	С охлаждением вала
	со смазкой	без смазки
η	0,25–0,35	0,25–0,5	0,4–0,5	0,6–0,7

Расчетный допуск посадки

ТN = N_Рmах – N_Рmin = 90,6 – 14,5 = 76,1 мкм.

Квалитет точности находим по числу единиц допуска:

k =ТN / (2·i) = 76,1/(2∙1,56) = 24,4,

где i – единица допуска.

,

где D_и – среднее геометрическое граничных значений соответствующего интервала размеров [5, 6, 9].

Ближайшее значение k = 25 для 8-го квалитета (приложение В в табл. В1), поэтому К_к = 0,09. Рекомендуется выбирать посадку с допусками не более 8-го квалитета.

Тогда поправка на смятие шероховатости поверхности

ΔN_R ≤10∙0,5∙76,1∙0,5∙0,09 = 17,1 мкм.

Из-за уменьшения фактической площади контакта при увеличении шероховатости поверхности поправку на смятие шероховатости рекомендуется принимать не более

ΔN_R ≤ 10∙η∙( ), (24)

где и  – предельно допустимые параметры шероховатости поверхности;

ΔN_R ≤ 10·0,5·(1,25 + 2,5) = 18,8 мкм.

Примем ΔN_R = 17,1 мкм.

Для размеров от 18 до 120 мм при запрессовке (поперечный метод) можно принять [R_ad] = 1,25 мкм и [R_ad] = 2,5 мкм. При нагреве или охлаждении деталей (поперечный метод) значения [R_ad] и[R_ad] увеличивают в два раза.

Поправку на температурное расширение определяем по формуле

, (25)

где и  – коэффициенты линейного расширения материала вала и втулки (табл. 7);

t_d и t_D – рабочие температуры вала и отверстия; t= 20°С – температура сборки.

Расчет по формуле (14) проводим два раза: для нижнего и верхнего значений диапазона температуры. Если значение ΔN_t, положительное, то подставляем его в формулу для определения N_Tmin (так как отверстие расширится больше вала и нужно компенсировать данное уменьшение натяга), если отрицательно, то подставляем его в формулу N_Tmax (так как вал расширится больше и нужно компенсировать увеличение натяга).

Таблица 7

Значения коэффициентов линейного расширения

Материал	Сталь	Чугун	Бронза	Латунь
α; град–1	11,3·10–6	10·10–6	17,9·10–6	19·10–6

В результате расчетов получим:

По рисунку 14 определяем х: l/d_н = 50/45 = 1,11, поэтому х = 0,97.

Примем ΔN_П= 7 мкм. Тогда по формулам (8) и (9) получим:

N_Tmax = 90,6·0,97 + 17,1 – 11,9 = 93,1 ≈ 93 мкм;

N_Tmin = 14,5 + 17,1 + 23,8 + 7 = 62,4 ≈ 62 мкм.

Выбор посадки

Условия выбора посадки:

N_Cmax≤N_Tmax; (26)

N_Cmin≤N_Tmin, (27)

где N_Cmax и N_Cmin – предельные стандартные натяги.

Определяем допуск посадки:

TN = N_Tmax – N_Tmin = 93 – 62 = 31 мкм.

В качестве системы посадки принимаем систему отверстия по исходным данным. Тогда определяем допуск на основную деталь – отверстие:

TD= Td = TN /2 = 31/2 = 15,5 мкм.

По таблице В2 приложения В находим ближайшее значение допуска отверстия для диаметра 45 мм TD= 16 мкм, что соответствует 6-му квали-тету. Рекомендуется допуск отверстия брать на один квалитет больше допуска вала, так как обычно при равной степени точности отверстие обработать труднее и дороже, чем вал. Можно назначить и равные допуски.

В системе отверстия, исходя из схемы расположения полей допусков (рис. 15) и условия (14), по таблицам Г4, Г5 приложения Г (в системе вала – по таблицам Г1, Г2, Г3 приложение Г) выбираем основное отклонение вала по условию

ei ≥ TD+N_Tmin (в системе вала: \ES\> Td+N_Tmin); (28)

ei≥16 + 62 = 78 мкм.

Принимаем ei = v = + 81 мкм.

Уточняем допуск на сопрягаемую деталь исходя из схемы (рис. 14) и условия 15:

Td ≤ N_Tmax – ei (в системе вала: TD ≤ N_Tmax –\ES\); (29)

По таблице В2 приложения В принимаем Тd = 11 мкм, что соответствует 5-му квалитету (в системе вала TD < N_rmax  –\ES\).

В пределах погрешности расчетов возможно нарушение условий (28) и (29) на 1–2 мкм (это снижает стоимость обработки).

Определяем предельные отклонения:

EI= 0; ES = EI+TD = 0+16= = +16 мкм.

Так как система изготовления по варианту – система отверстия, то

ei = +81 мкм; es = ei + Td= +81 + 11= +92 мкм.

Наносим их на схему расположения полей допусков (рис. 15).

Предельные стандартные натяги в посадке:

N_Cmin= ei – ES = 81–16 = 65 мкм;

N_Cmax= es – EI = 81 – 0 = 81 мкм.

Условия выбора посадки удовлетворяются:

N_Cmin = 65 ≥ N_Tmin = 62 мкм;

N_Cmax= 92 ≤ N_Tmax = 93 мкм.

Выбранную посадку запишем так: Ø45 .

Рис. 15. Схема расположения полей допусков выбранной посадки

Внимание! Предельные отклонения имеют одну и ту же единицу измерения, что и номинальный диаметр – мм.

Определение коэффициентов запаса прочности и сцепления

Коэффициент запаса прочности определяем по выражению

n = N_Pmax/(N_Cmax – ΔN_R) ; (30)

п = 93/(92 – 17,1) = 1,24 ≥ 1 – условия удовлетворяются.

Коэффициент запаса сцепления определяем по зависимости

m=N_Cmin /N_Tmin; (31)

т = 65/62 = 1,04 ≥ 1 – условия удовлетворяются.

Определение усилия запрессовки

Усилие запрессовки определяем по формуле

R₃=f₃ – (c_max /N_Pmax)·p_max·π·d_n·l; (32)

где f₃ – коэффициент трения при запрессовке, f₃ ≈ 1,2f = 1,2·0,1 = 0,12.

В результате расчета получим:

R₃ = 0,12·(92/93) ·74,0·10⁶·3,14·0,045·0,05 = 62094,1 Н ≈ 62 кН.

И как вариант – определение температуры нагрева втулки.

В случае поперечного метода сборки необходимо определить температуру нагрева втулки по зависимости

, (33)

где S_сб –зазор при сборке (берется равным отклонению «G», м, таблице приложения 5);

t_сб = 20 °С – температура при сборке.

В нашем случае отклонение G = 9 мкм = 9·10^–6 м.

В результате расчета получим:

.

Температура нагрева стальных деталей с термообработкой не должна превышать 200–300 °С, иначе происходит низкий или средний отпуск (хотя в ряде случаев он необходим для повышения качества стали).