8.2. Анализ размерных цепей

Задачи размерного анализа делятся на два вида – прямую и обратную. Прямая задача решается для определения допусков и предельных отклонений составляющих звеньев по заданным номинальным размерам всех звеньев цепи и заданным предельным размерам исходного звена.

Решение обратной задачи позволяет определить номинальный размер, предельные отклонения и допуск замыкающего или исходного звена по заданным номинальным размерам и предельным отклонениям составляющих звеньев.

Существует несколько методов решения прямой и обратной задачи в условиях полной и неполной взаимозаменяемости. Наиболее распростра­ненными являются методы:

– расчета на максимум – минимум (обеспечивает полную взаимозаменяемость);

– теоретико-вероятностный (обеспечивает неполную взаимозаменяемость);

– групповой взаимозаменяемости; регулирования; пригонки и др.

Рис. 29. Схема размерной цепи подшипникового узла

Рассмотрим некоторые из этих методов на примере расчета размерной цепи подшипникового узла (рис. 29). При расчете данного узла решим обратную задачу – методом расчета на максимум.

Известны: A_i; E_SA_i; E_iA_i; TA_i.

Определить: А_х; Е_sА_х; Е_iА_х; ТА_х.

Расчет осуществляем в следующем порядке

1. Составляем схему размерной цепи, определяем общее число звеньев цепи (рис. 30).

2. Определяем характер звеньев: А_x – замыкающее звено; А₁ – увеличивающее звено; А_2, А₃, А₄ – уменьшающие звенья. Обозначаем п число увеличивающих звеньев (для нашего случая п = 1), а р – число уменьшающих звеньев (для нашего случая p = 3). Тогда п + р = т – 1.

3. Составляем уравнение номинальных размеров

– в частном случае:

A_x= А₁ – (А₂ + А₃ + A₄); (44)

– в общем случае:

.

4. Предельные размеры замыкающего звена могут быть определены из формул

;

,

а допуск замыкающего звена определяем составив уравнение допусков, зная, что допуск любого звена, в том числе звена А_x, равен

, (45)

Так как разность между предельными размерами звеньев есть их допуск, получим

. (46)

Рис. 30. Схема размерной цепи подшипников узла с числом звеньев m = 5

Сумма увеличивающих и уменьшающих звеньев п + р = т – 1, поэтому

, (47)

т. е. допуск замыкающего или исходного звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

5. Находим предельные размеры замыкающего звена, т. е. определяем его верхнее и нижнее предельные отклонения. Согласно формуле

. (48)

Известно, что для любого наибольшего предельного размера, в том числе для

. (49)

Тогда

.

Находим :

или (50)

.

Тогда

. (51)

Таким образом находятся предельные размеры замыкающего или исходного звена.

В соответствии с формулой (47) допуск замыкающего звена равен сумме допусков всех составляющих звеньев. Следовательно, чтобы погрешность узла была минимальной, при проектировании и изготовлении деталей надо стремиться к минимальному числу звеньев цепи, т. е. соблюдать принцип кратчайшей размерной цепи.

Первая задача размерных цепей предполагает определение номинального размера и допуска (предельных отклонений) замыкающего или исходного звена по заданным номинальным размерам, допускам и предельным отклоненем составляющих звеньев.

Вторая задача размерных цепей предполагает определение допусков и предельных отклонений составляющих размеров по заданным номинальным размерам всех звеньев цепи и заданным предельным размером исходного звена.

При решении прямой задачи размерного анализа можно воспользоваться способом равных допусков или допусков одного квалитета, который удобно применять, если составляющие размеры цепи входят в один размерный интервал или в крайнем случае в соседние размерные интервалы. Метод основан на предположении, что допуски всех составляющих звеньев равны, т. е.

.

Согласно [6] имеем

или . (52)

Так как все допуски равны, можно эту же формулу представить в виде

. (53)

Тогда допуск любого звена размерной цепи определяется по формуле

. (54)

Найденный допуск желательно скорректировать до значения ближайшего стандартного поля допуска.

Этот метод назначения полей допусков составляющих звеньев достаточно прост, но не совсем точен, поэтому его обычно применяют для предварительного назначения допусков.

Прямую задачу можно решить и другим методом – методом одинаковой точности (методом допуска одного квалитета точности). В этом случае условно принимается, что все составляющие звенья цепи выполнены с допусками по одинаковому квалитету точности.

Знаем, что

, (55)

где i – единица допуска, зависящая от номинального размера и подсчитывающаяся по формуле i= ;

а – число единиц допуска, зависящее от квалитета точности (приложение В, табл. В1).

Использовав формулу, получим

. (56)

Квалитеты точности у всех звеньев одинаковы, т. е.

.

Тогда

,

Откуда

. (57)

В предыдущих подразделах мы уже определяли i для каждого интервала размеров и параметр а для каждого квалитета.

Полученное по формуле значение а_ср редко бывает абсолютно точно равным какому-либо значению а для конкретного квалитета, поэтому мы выбираем ближайший к этому значению квалитет и по таблицам [8] определяем допуски составляющих звеньев, обращая внимание на то, что допуски охватываемых размеров назначаем, как для основного вала (т. е. в «–» от номинального значения), а допуски охватывающих размеров рассчитываем, как для основного отверстия (т. е. в «+» от номинального значения).

В условиях массового и крупносерийного производства расчет размерных цепей изложенными выше методами часто не дает экономически выгодного результата. Поэтому а этих видах производства целесообразно использовать вероятностные методы расчета, которые основаны на суммировании средних размеров, определенных с учетом случайных погрешностей.

При этом размер замыкающего звена размерной цепи принимается за случайную величину, являющуюся суммой независимых случайных переменных размеров составляющих звеньев. Вместо алгебраического суммирования допусков, которое мы использовали в рассмотренных выше методах, в этом случае применяется квадратическое суммирование:

. (58)

Погрешности изготовления деталей различных размеров или их сборки могут подчиняться различным математическим законам (закону нормального распределения, закону равной вероятности, закону треугольника и т. д.). Чаще всего они подчиняются закону нормального распределения. Поэтому в расчеты вводят различные коэффициенты, связывающие законы равной вероятности и треугольника с законом нормального распределения.