Задача 5 Геометрические характеристики плоского сечения

Для плоской фигуры, представленной на рисунке 5.1а), определить положение главных центральных осей и вычислить осевые моменты фигуры относительно этих осей.

Плоская фигура - это тонкая однородная пластина, ослаблена отверстием (на рисунке показано белым цветом) и усилена плоской накладкой (на рисунке отмечена густой штриховкой).

Рис. 5.1а)

Рис. 5.1б)

Рис. 5.1в)

Рис. 5.1г)

Рис. 5.1

Решение

1. Главными центральными осями плоского сечения называют оси проходящие через центр сечения, относительно которых центробежный момент сечения равен нулю.

Алгоритм решения задачи предполагает:

- определение положения центра сечения;

- расчет геометрических характеристик сечения относительно удобных центральных осей;

- расчет положения главных центральных осей и определение осевых моментов сечения относительно этих осей.

Как правило, для упрощения решения задачи сложное сечение делят на части - простые фигуры, для которых известны или могут быть достаточно легко определены геометрические характеристики относительно удобных осей координат.

Исходное сечение можно рассматривать как совокупность трех фигур: из круга (фигура 1 на рис. 5.1б) вырезают круг меньшего диаметра (фигура 2 на рис. 5.1в) и накладывают прямоугольник (фигура 3 на рис. 5.1г). Удобные для решения задачи системы координат показаны на рисунках.

2. Положение центра плоского составного сечения определяется координатами

(5.1)

здесь площади частей плоской фигуры:

т.к. .

Статические моменты частей фигуры относительно осей

Находим координаты центра составной фигуры в координатных осях , учитывая, что фигура исключается из фигуры .

Рис. 5.2

3. Для расчета осевых и центробежного моментов составной фигуры относительно центральных осей необходимо знать соответствующие моменты составляющих частей относительно этих осей:

(5.2)

При расчете этих моментов воспользуемся формулами перехода от одной системы координатных осей к другой ей параллельной. Наиболее простой вид эти формулы принимают, когда одна из координатных систем является центральной (см. рис. 5.3 , где оси центральные , т.е. .

(5.3) здесь координаты начала новых осей в старых осях. В рассматриваемой задаче (рис. 5.2):

Рис. 5.3

- для фигуры

- для фигуры 2

- для фигуры 3

Теперь находим:

- для первой фигуры оси главные центральные, тогда

- для второй фигуры оси главные центральные, тогда

- для третьей фигуры оси главные центральные, тогда

Применяя формулы (5.2), находим:

4. Наконец можно перейти к определению положения главных центральных осей плоской фигуры и вычислению осевых моментов относительно этих осей.

Оси - центральные оси фигуры, но они не являются главными центральными, т.к. . Положение главных центральных осей определяется углом , для определения которого воспользуемся зависимостью

(5.4)

Получаемые из (5.4) два значения угла отличаются на и определяют положение главных центральных осей. как легко видеть, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает . Обычно пользуются меньшим углом (положительным или отрицательным. Проведенную под этим углом главную ось обозначают буквой .

а) б) с) д) Рис. 5.4

В рассматриваемом примере

Из возможных вариантов решения (см. рис. 5.4) принимаем вариант 5.4б). Оси и показаны на рис. 5.2.

Правильность вычислений можно проверить , если определить центробежный момент сечения относительно осей . Если угол определен правильно, то центробежный момент должен получиться равным нулю:

что и требовалось доказать.

Теперь рассчитаем осевые моменты сечения относительно главных центральных осей:

Легко убедиться, что Это свойство осевых моментов сечения относительно выбранных осей при их повороте на угол .

Значения осевых моментов сечения относительно главных центральных осей можно найти и по алгебраическим формулам, если известны моменты сечения относительно произвольных центральных осей :

.