Пример 1 Центральное растяжение - сжатие

Ступенчатый стержень нагружен тремя силами. Условия нагружения - центральное растяжение - сжатие.

Дано:

; ;

;

Необходимо:

• определить реакцию связи;

• определить продольное усилие на каждом участке вала и построить эпюру продольного усилия;

• назначить площадь поперечных сечений стержня на каждом участке, удовлетворяя условию прочности, при стремлении минимизировать массу конструкции;

• найти линейные перемещения характерных сечений стержня и построить эпюру перемещений.

Решение

1. Из условия уравновешенности системы сил, действующей на стержень, находим реакцию связи (рис.1.1)

.

2. Далее, используя метод сечений, определяем продольное усилия на участках стержня и строим эпюру продольного усилия

3. Условие прочности при центральном растяжении - сжатии должно выполняться и на участке , и на участке , и на участке :

(1.1)

Используя условия (1.1) находим минимальное значение параметра , который определяет связанные конструктивно площади сечений :

из условия прочности на участке "a"

;

из условия прочности на участке "a"

5,45 ;

из условия прочности на участке "a"

;

Принимаем .

Тогда на участках стержня площади сечений будут такими:

Рис 1.1

3. Определим удлинение каждого участка стержня

Рассчитаем перемещения характерных сечений стержня

Строим эпюру линейных перемещений сечений стержня (см. рис.1.1).

Пример 2 Центральное растяжение - сжатие (стержневая система)

Абсолютно твердое тело BCD закреплено в плоскости тремя стержнями, имеющими различную площадь поперечного сечения .

Необходимо определить максимально допустимое значение внешней нагрузки или при выполнении условий прочности для всех прикрепляющих стержней.

Геометрические размеры и допускаемые напряжения известны.

Рис. 2.1

a, м b, м c, м 0,8 0,75 0,35 0,65 0,85 7,0 α β , МПа 1,2 1,1 280 2,1

Решение

1. Очевидно, что усилия в прикрепляющих стержнях зависят от интенсивности распределенной нагрузки и геометрических параметров конструкции. Понимая это, можно записать систему неравенств (условий прочности), которым должно удовлетворять разыскиваемое решение:

   (2.1)

2. Наложенные на тело связи, стержни 1, 2, 3, заменяем реакциями связей (рис. 2.1) и из условий уравновешенности системы сил { } определяем усилия через .

Рис. 2.1

здесь

Решение системы уравнений (2.2) дает результат:

	(2.4)

3. Теперь из условий (2.1) получаем допустимые значения :

]; - из условия прочности для стержня 1: ]; - из условия прочности для стержня 2: - из условия прочности для стержня 3:

Условия прочности для всех прикрепляющих стержней будут выполнены, если

4. Проверим решение задачи. Если , то:

Условие прочности для прикрепляющих стержней выполняется.

Пример 3 Кручение вала круглого поперечного сечения

Ступенчатый брус круглого поперечного сечения нагружен внешними моментами, приложенными в трех сечениях.

Необходимо:

- построить эпюру крутящего момента ;

- из условия прочности определить безопасные значения диаметров на каждом участке бруса, принимая во внимание их взаимозависимость:

; допускаемое напряжение принять .

- построить эпюру углов поворота сечений относительно заделки;

- проверить выполнение условия жесткости на всех участках вала.

Дано: а=0,6 м; b=0,4 м; c=0,3 м; Н·м; =20 Н·м; Н·м; 0,7 МПа; =1,3град/м.

Решение

1. Определим реакцию связи - момент в заделке .

2. Используя метод сечений определим крутящий момент в сечениях на участках вала (см. рис. 3.1):

уч "a" ;

уч "b" ;

уч "c" ;

3. Строим эпюру крутящего момента и из условия прочности на каждом участке стержня определяем безопасное значение параметра :

- условие прочности сечения

где -полярный момент сечения;

- из условия прочности на участке "a"

- из условия прочности на участке "b"

- из условия прочности на участке "c"

Значение параметра , при котором удовлетворяется условие прочности на всех участках вала

Принимаем . Тогда участки стержня должны иметь следующие диаметры:

4. Теперь построим эпюру углов поворота сечений вала относительно заделки и проверим выполнение условия жесткости по погонному углу поворота.

Взаимный угол поворота двух сечений вала, отстоящих друг от друга на расстоянии при определяется по формуле

Определяем:

- угол поворота сечения относительно сечения

- угол поворота сечения 1 относительно сечения

- угол поворота сечения 2 относительно сечения 1

- угол поворота сечения 3 относительно сечения 2

- угол поворота сечения 2 относительно сечения

- угол поворота сечения 3 относительно сечения

Строим эпюру углов поворота сечений вала относительно заделки (сечение ) - эпюра на рис. 3.1.

5. Проверим выполнение условия жесткости по погонному углу поворота для рассматриваемого вала. Условие жесткости имеет вид

];

Допускаемое значение погонного угла поворота в радианах на метр равно

]

Проверяем условие жесткости на каждом участке вала:

- на участке "a"

Рис. 3.1

- на участке "b"

- на участке "c"

Полученные результаты позволяют сделать вывод: спроектированный по условию прочности вал удовлетворяет и условию жесткости.