Решение линейных систем с помощью обратной матрицы

Рассмотрим линейную систему (1) и введем следующие обозначения:

- матрица системы, - столбец неизвестных,

- столбец свободных членов. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения: АХ = В. (3)

Если матрица A – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу , причем .

Пусть матрица – невырожденная, тогда

.

Умножим обе части равенства (3) слева на Получим

Но тогда , а поскольку

Итак, решением матричного уравнения (3) является произведение матрицы, обратной к А, на столбец свободных членов системы (1).

Пример .

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Составим матрицу системы:

.

Δ_А = -51 ≠ 0, следовательно, система имеет единственное решение.

Найдем матрицу А^-1:

Тогда .

Если , то исходная система превращается в матричное уравнение АХ = В, решение которого Х = А^-1В. Следовательно,

то есть х = 3, у = 1, z = 1.

Методические указания к задаче №5

Общее решение однородной линейной системы

Рассмотрим однородную линейную систему

(4)

Очевидно, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение называемое тривиальным.

Матрицей системы (4) называется матрица вида

. (5)

Пусть ранг матрицы системы r < n. Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) – свободными неизвестными.

Тогда число линейно независимых решений системы (4) равно n – r. При этом любые n – r линейно независимых решений системы (4) называются ее фундаментальной системой решений, а любое решение однородной линейной системы (4) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений, то есть , где - фундаментальная система решений.

Пример.

Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы

.

Найдем r(A):

~ ~ ~ .

Выберем в качестве базисного минора .

Значит, r(A) = 2. Пусть х₄, х₅ – базисные неизвестные, х₁, х₂, х₃ – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:

,

откуда .

Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:

1) х₁ = 1, х₂ = х₃ = 0.

Тогда х₄ = -0,2, х₅ = 1,2, и решение можно записать в виде столбца .

2) х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 0.

При этом х₄ = 1,2, х₅ = 3,8, и следующее решение системы имеет вид .

3) х₁ = х₂ = 0, х₃ = 1. Отсюда х₄ = -0,8, х₅ = -0,2, и последний столбец

.

Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной. Поскольку столбцы свободных неизвестных , , линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х₁, Х₂, Х₃.

Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать

, , .

При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с₁Х₁ + с₂Х₂ + с₃Х₃, где с₁, с₂, с₃ – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.

Методические указания к задаче №6

Расстояние между двумя точками и находится по формуле

. (6)

Например, расстояние между точками и равно

Координаты точки – середины отрезка AB равны полусуммам одноименных координат, т.е., если и , то (7)

Например, точка M – середина отрезка AB, если A(2;-1) и B(5;3), имеет координаты: .

Общее уравнение прямой: . (8)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и имеет вид: (9)

Например, уравнение прямой, проходящей через точки A(2;-1) и B(5;3), запишется:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: (10),

где – угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Уравнение с угловым коэффициентом (10) получается из общего уравнения (8), если из него выразить y:

.

Например, полученное выше общее уравнение прямой AB: , запишется уравнением с угловым коэффициентом: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: (11)

Точка пересечения двух прямых и находится как решение системы двух линейных уравнений:

.

Угол α между двумя прямыми определяется через угловые коэффициенты этих прямых по формуле:

, (12)

Где и – угловые коэффициенты данных прямых.

Две прямые параллельны, если , перпендикулярны, если , т.е. . (13)

Вектор – это направленный отрезок , т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если A – начало вектора, а B – его конец, то вектор обозначается .

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты его начала. Т.е., если и , то . (14)

Например, если A(2;-3) и B(5;1), то .

Длиной вектора называется длина отрезка AB и обозначается . Длину вектора вычисляют по формуле:

(15)

Например, длина вектора равна

Скалярным произведением вектора и вектора называется число, равное:

(16)

Например, скалярное произведение векторов и равно: .

Угол между векторами и задается формулой: . (17)

Например, найдем угол между векторами и . Для этого найдем сначала длину каждого вектора: Затем найдем скалярное произведение этих векторов: Тогда

Пример. Даны вершины треугольника ABC: . Найти: 1) уравнение прямой AB; 2) уравнение высоты CD и ее длину; 3) координаты векторов и ; 4) угол A треугольника ABC.

Р ешение. Выполним чертеж к задаче (рис. 1)

y

A

C

D x

B Рис. 1

1) Уравнение прямой AB запишем по формуле (9):

т.к. то примем и получим

Выразим y:

2) Составим уравнение высоты CD. Т.к. , то ее угловой коэффициент:

Уравнение CD запишем по формуле (11): т.к. она проходит через точку в направлении, заданном угловым коэффициентом Получим:

Чтобы найти длину высоты CD, необходимо знать координаты точки D. Найдем их, решив систему уравнений:

Координаты точки D(2; 0). Длину высоты CD найдем как расстояние между точками и D по формуле (6):

3) Координаты векторов и по формуле (14): ,

.

4) Угол A треугольника ABC можно найти как угол между векторами и по формуле (17). Для этого найдем длины этих векторов (15) и их скалярные произведения (16):

Ответ. 1) Уравнение стороны AB:

2) Уравнение высоты CD: Ее длина

3)

4) Угол между векторами и равен .

Методические указания к задаче № 7

Чтобы найти координаты вектора в базисе можно матрицу, обратную матрице, составленной из координат базисных векторов, умножить на матрицу-столбец координат данного вектора.

Обозначим новые координаты вектора , матрицу координат базисных векторов (векторы – столбцы), матрицу, обратную матрице A: .

Тогда . (18)

Алгоритм решения.

1. Составить матрицу A, найти ее определитель, сделать вывод о существовании базиса: если – базис существует, если – не существует.

2. Найти матрицу , обратную матрице A.

3. Умножить матрицу на матрицу- столбец координат вектора в старом базисе.

Пример. Написать разложение вектора по векторам .

Решение.

1). Составим матрицу .

Найдем определитель матрицы A:

, значит, векторы образуют базис.

2). Найдем матрицу, обратную матрице A. Для этого найдем сначала алгебраические дополнения элементов матрицы A по формулам (15) и (16):

Составим обратную матрицу: .

Проверка.

Обратная матрица найдена верно.

Найдем координаты вектора в новом базисе, воспользовавшись для этого формулой (18):

.

Вектор в новом базисе: .

Ответ. .

Методические указания к задаче № 8

Вектор называется собственным вектором матрицы A, если найдется такое число λ, что

(19)

Число λ называется собственным значением матрицы A, соответствующим вектору .

В равенстве (19) вектор представлен в виде матрицы-столбца. Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда определитель матрицы . Поэтому, чтобы найти собственные значения и собственные векторы матрицы A, необходимо:

1. Найти матрицу . Записать ее определитель. Приравнять его к 0 и решить полученное уравнение. При этом будут найдены собственные значения матрицы.

2. Решить матричное уравнение , для того, чтобы найти собственные векторы матрицы A.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.

а)

Решение. Найдем матрицу :

Решим уравнение:

Собственные значения матрицы

Найдем собственные векторы матрицы, для этого решим уравнение :

Получим при :

Обозначим . Получим – собственные векторы матрицы A при собственном значении, равном – 5.

При .

могут принимать любые, не равные нулю значения.

Ответ. , ; .

Методические указания к задаче № 9

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены ограничения.

Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.

Математическое выражение целевой функции и системы ограничений называется математической моделью экономической задачи.

В общем виде математическая модель задачи ЛП:

Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Математическая модель в более краткой записи имеет вид:

при ограничениях:

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется вектор , удовлетворяющий системе ограничений.

Множество допустимых решений образует область допустимых значений (ОДР).

Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи ЛП и обозначается .

Базисное допустимое решение является опорным решением, где r – ранг системы ограничений.

Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные неотрицательные, то такая модель называется канонической.

Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в каждое неравенство ввести балансовую переменную . Если знак неравенства ≤, то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если знак неравенства ≥, то – минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.

Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо:

1. ввести обозначения переменных;

2. исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;

3. учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

Симплексный метод является универсальным, т.к. позволяет решить практически любую задачу ЛП, записанную в каноническом виде.

Идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) заключается в том, что, начиная с некоторого опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному. Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает. Т.к. число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное решение. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода.

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на оптимальность. Для этого заполняем симплексную таблицу. Все строки таблицы 1-го шага, за исключением индексной строки, заполняются по данным системы ограничений и целевой функции.

Таблица 1.

ci	БП	c1	c2	…	cm	cm+1	…	cn	F(x)
		x1	x2	…	xm	xm+1	…	xn	bi
c1	x1	1	0	…	0	h1,m+1	…	h1,n	b1
c2	x2	0	1	…	0	h2,m+1	…	h2n	b2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
cm	xm	0	0	…	1	hm,m+1	…	hmn	bm
∆j		0	0	…	0	∆m+1	…	∆n

Индексная строка для переменных находится по формуле

и по формуле для свободного члена.

Возможны следующие случаи при решении задачи на максимум:

• Если все оценки , то найденное решение оптимальное.

• Если хотя бы одна оценка , но при соответствующей переменной нет ни одного положительного коэффициента, решение задачи прекращаем, т.к. , т.е. целевая функция неограниченна в ОДР.

• Если хотя бы одна оценка , а при соответствующей переменной есть хотя бы один положительный коэффициент, то переходим к другому опорному решению.

• Если отрицательных оценок в индексной строке несколько, то в столбец БП вводят ту переменную, которой соответствует наибольшая по модулю отрицательная оценка.

Столбец, соответствующий наибольшей по модулю отрицательной оценке принимают за ключевой. За ключевую строку принимают ту, которой соответствует минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам ключевого столбца. Элемент, стоящий на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, называется ключевым элементом.

3. Заполняем симплексную таблицу 2-го шага:

– переписываем ключевую строку, разделив ее на ключевой элемент;

– заполняем базисные столбцы;

– находим остальные коэффициенты таблицы и оценки.

Если целевая функция требует нахождения минимального значения, то критерием оптимальности является неположительность оценок.

Пример. Для производства продукции двух типов предприятие использует два вида сырья. Данные об условиях приведены в таблице.

Сырье	Расход сырья на единиц продукции, кг/ед.		Количество сырья, кг
	1 тип	2 тип
1 вида	1	3	300
2 вида	1	1	150
Прибыль, тыс.руб./ед. продукции	2	3

Составить план производства по критерию «максимум прибыли».

Решение. Составим математическую модель данной задачи.

Обозначим: x₁ – единиц продукции 1 типа должно выпускать предприятие; x₂ – единиц продукции 2 типа должно выпускать предприятие.

Целевая функция строится на максимум прибыли: .

Ограничения по запасам сырья: .

Неизвестные должны быть неотрицательны: .

Модель неканоническая, приведем ее к каноническому виду, для этого в левую часть первого неравенства введем балансовую переменную x₃, а второго неравенства – x₄. Получим каноническую модель:

Составим симплексную таблицу первого шага.

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
0	x3	1	3	1	0	300
0	x4	1	1	0	1	150
∆j		-2	-3	0	0	0

Отрицательных оценок 2, большая по модулю соответствует 2 столбцу, значит 2-й столбец – ключевой. Найдем ключевую строку:

Таблица 1

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
0	x3	1	3	1	0	300
0	x4	1	1	0	1	150
∆j		-2	-3	0	0	0

Ключевой элемент 3, соответствующий второму столбцу, т.е. – x₂. Значит, чтобы построить таблицу 2-го шага необходимо из базисного столбца вывести x₃, а ввести в него x₂. При этом всю первую строку разделим на ключевой элемент, т.е на 3. И заполняем базисные столбцы.

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
3	x2	1/3	1	1/3	0	100
0	x4		0		1
∆j			0		0

Найдем оставшиеся коэффициенты. Во втором столбце 1 таблицы стоит 1, а во второй таблице – 0. 0 = 1 – 1, т.е. из второй строки 1 таблицы нужно вычесть первую строку 2 таблицы. Оценки найдем по формулам: , .

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
3	x2	1/3	1	1/3	0	100
0	x4	2/3	0	- 1/3	1	50
∆j		-1	0	1	0	300

Получили F = 300, т.е. план улучшился.

Отрицательная оценка одна, она соответствует 1 столбцу. Найдем ключевую строку: . Ключевой элемент 2/3.

Таблица 2

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
3	x3	1/3	1	1/3	0	100
0	x4	2/3	0	- 1/3	1	50
∆j		-1	0	1	0	300

Строим таблицу 3 шага. Вместо x₄ в базисный столбец вводим x₁. вторую строку 2 таблицы делим на 2/3 и заполняем базисные столбцы.

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
3	x2	0	1
2	x1	1	0	- 1/2	3/2	75
∆j		0	0

В первой строке 2 таблицы стоит 1/3, а в третьей таблице 0. .

Т.е. надо из элементов 1 строки 2 таблицы вычесть элементы 2 строки 2 таблицы, разделенные на 2.

Таблица 3.

ci	БП	2	3	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	bi
3	x2	0	1	1/2	- 1/2	75
2	x1	1	0	- 1/2	3/2	75
∆j		0	0	1/2	3/2	375

В индексной строке все оценки неотрицательны, значит, получен оптимальный план.

Ответ. Предприятие должно выпускать 75 единиц продукции 1 типа и 75 единиц продукции 2 типа, получая при этом максимальную прибыль 375 тыс. р.

Некоторые задачи ЛП требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции. В общем виде математическая модель задачи целочисленного программирования имеет вид:

при ограничениях:

Для нахождения целочисленного решения используют несколько алгоритмов: метод ветвей и границ, метод отсечений, метод Гомори. Мы рассмотрим метод, предложенный Гомори.

Он состоит в следующем. Симплексным методом находят оптимальное решение задачи. Если оно не целочисленное, то накладывается дополнительное ограничение по целочисленности и вычисления продолжают до получения нового решения. Если оно не целочисленное, то вновь накладывают ограничение по целочисленности и т.д. до получения целочисленного решения.

Целой частью числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a. Обозначается . Дробной частью числа a называется разность между этим числом и его целой частью. Обозначается .

Пример.

Пример. Фирма выпускает три вида изделий А, Б, В. Все данные для одной смены приведены в таблице.

Ресурсы, ед.	Изделие А	Изделие Б	Изделие В	Объем ресурсов.
Оборудование Сырье Электроэнергия	3 1 3	2 4 3	0 0 1	51 48 67
Прибыль, у.е.	40	50	10

Определить, сколько изделий каждого вида надо производить, чтобы получить максимальную прибыль.

Решение. Пусть – необходимо выпускать изделий A, Б, B соответственно.

Составим математическую модель задачи.

Найдем симплексным методом оптимальное решение.

Таблица 1.

ci	БП	40	50	10	0	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	bi
0	x4	3	2	0	1	0	0	51
0	x5	1	4	0	0	1	0	48
0	x6	3	3	1	0	0	1	67
		-40	-50	-10	0	0	0	0
0	x4	2,5	0	0	1	-0,5	0	27
50	x2	0,25	1	0	0	0,25	0	12
0	x6	2,25	0	1	0	-0,75	1	31
		-27,5	0	-10	0	12,5	0	600
40	x1	1	0	0	0,4	-0,2	0	10,8
50	x2	0	1	0	-0,1	0,3	0	9,3
0	x6	0	0	1	-0,9	-0,3	1	6,7
		0	0	-10	11	7	0	897
4 0	x1	1	0	0	0,4	-0,2	0	10,8
50	x2	0	1	0	-0,1	0,3	0	9,3
10	x3	0	0	1	-0,9	-0,3	1	6,7
∆j		0	0	0	2	4	10	964

Отрицательных оценок нет. Получили оптимальное решение , но оно не является целочисленным.

Найдем дробные части значений :

Наибольшее значение , что соответствует первой строке. Дробные части не целочисленных коэффициентов в этой строке:

Составим дополнительное ограничение по целочисленности:

или

и введем его в таблицу 2.

Таблица 2.

Ci	БП	40	50	10	0	0	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	bi
	x1	1	0	0	0,4	-0,2	0	0	10,8
	x2	0	1	0	-0,1	0,3	0	0	9,3
	x3	0	50	10	-0,9	-0,3	1	0	6,7
		0	0	0	0,4	0,8	0	-1	0,8
4 0	x1	1	0	0	0	-1	0	1	10
50	x2	0	1	0	0	0,5	0	-0,25	9,5
10	x3	0	0	1	0	1,5	1	-2,25	8,5
0	x4	0	0	0	1	2	0	-2,5	2
∆j		0	0	0	0	0	10	5	960

Отрицательных оценок нет. Получили оптимальное решение , но оно не является целочисленным.

Найдем дробные части значений :

Дробные части одинаковы, что соответствует второй и третьей строкам. Дробные части не целочисленных коэффициентов во второй строке:

Составим новое ограничение по целочисленности: или .

Введем его в симплексную таблицу 3.

Таблица 3.

ci	БП	40	50	10	0	0	0	0	0	f
		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	bi
	x1	1	0	0	0	-1	0	1	0	10
	x2	0	1	0	0	0,5	0	-0,25	0	9,5
	x3	0	0	1	0	1,5	1	-2,25	0	8,5
	x4	0	0	0	1	2	0	-2,5	0	2
∆j		0	0	0	0	0,5	0,75	0	-1	0,5
4 0	x1	1	0	0	0	0	1,5	1	-2	11
50	x2	0	1	0	0	0	-0,75	-0,25	1	9
10	x3	0	0	1	0	0	-1,25	-2,25	3	7
0	x4	0	0	0	1	0	0	0	0	0
0	x5	0	0	0	0	1	1,5	0	-2	1
∆j		0	0	0	0	0	10	5	0	960

Отрицательных оценок нет. Получили оптимальное решение , оно является целочисленным.

Ответ. Чтобы получить максимальную прибыль 960 у.е. при имеющихся ресурсах, необходимо выпускать 11 изделий вида А, 9 изделий вида Б, 7 изделий вида В.